[論文レビュー] Algebraic extensions of global fields admitting one-dimensional local class field theory

Ivan D. Chipchakov|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、体の付値的基準を用いて、1次元局所クラス体論（LCFT）を許容するグローバル体の代数拡大を特徴づけている。このような体 $E$ が LCFT を許容するための必要十分条件は、$E$ の各素点 $p \in P(E)$ に対して非自明な絶対値の系 $\{v(p)\}_{p \in P(E)}$ が存在し、$E(p) \otimes_E E_{v(p)}$ が体となることである。主な貢献は、有限拡大のノルム群の完全な記述およびブラウ어群 $\text{Br}(E)$ の構造の特定であり、ノルム形式に対するハッセの原理の妥当性も含む。

ABSTRACT

Let $E$ be an algebraic extension of a global field $E_{0}$ with a nontrivial Brauer group Br$(E)$, and let $P(E)$ be the set of those prime numbers $p$, for which $E$ does not equal its maximal $p$-extension $E(p)$. This paper shows that $E$ admits one-dimensional local class field theory if and only if there exists a system $V(E) = \{v(p)\colon \ p \in P(E)\}$ of (nontrivial) absolute values, such that $E(p) \otimes_{E} E_{v(p)}$ is a field, where $E_{v(p)}$ is the completion of $E$ with respect to $v(p)$. When this occurs, we determine by $V(E)$ the norm groups of finite extensions of $E$, and the structure of Br$(E)$. It is also proved that if $P$ is a nonempty set of prime numbers and $\{w(p)\colon \ p \in P\}$ is a system of absolute values of $E_{0}$, then one can find a field $K$ algebraic over $E_{0}$ with such a theory, so that $P(K) = P$ and the element $κ(p) \in V(K)$ extends $w(p)$, for each $p \in P$.

研究の動機と目的

• グローバル体の代数拡大 $E$ が1次元局所クラス体論（LCFT）を許容するための特徴づけを行う。
• このような体 $E$ に対するブラウエール群 $\text{Br}(E)$ の構造を特定する。
• 任意の有限拡大 $R/E$ のノルム群 $N(R/E)$ を、絶対値の特徴的系を用いて記述する。
• ブラウエール群 $\text{Br}(E) \neq \{0\}$ のとき、$E$ 上のノルム形式多項式に対してハッセの原理が成り立つ条件を特定する。

提案手法

• 論文は、各 $p \in P(E)$ に対して非自明な絶対値の系 $\{v(p)\}_{p \in P(E)}$ が存在し、$E(p) \otimes_E E_{v(p)}$ が体であるという条件に基づく基準を確立している。
• 局所からグローバルへのアプローチを用い、各 $v(p)$ における拡大の局所的性質を分析し、それらをグローバルなノルム群と関連づけている。
• ノルム群 $N(R/E)$ は、各 $v(p)$ における局所的性質によって一意に定まる有限アーベル拡大 $\Phi(R)/E$ に対して、$N(R/E) = N(\Phi(R)/E)$ であることが示されている。
• $E$ が厳密に主に準局所的であるという条件下で、$\text{Br}(E)$ の構造は、$p$-成分 $\text{Br}(E)_p$ の非自明性および $E$ の $p$-準局所性によって特定されている。
• ガロア理論とアーベルト＝ホッシャイルドの定理を用いて、拡大の塔におけるスカラー拡張写像とノルム写像を分析している。
• 有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の多項式を用いた具体的な例を構成し、$p$-進完備化におけるその分解の性質を分析することで、$N_{\text{loc}}(R/E)$ の非自明性を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル体の代数拡大 $E$ が1次元局所クラス体論を許容するのはいつか？
• RQ2 このような体 $E$ に対してブラウエール群 $\text{Br}(E)$ の構造はどのようになるか？
• RQ3 有限拡大 $R/E$ のノルム群 $N(R/E)$ を局所的データの観点からどのように記述できるか？
• RQ4 $E$ 上のノルム形式多項式に対してハッセの原理が成り立つ条件は何か？
• RQ5 グローバル体 $E_0$ 上に代数的であるが、$P(K) = P$ かつ $K$ が指定された局所的性質を有するような体 $K$ を構成できるか？

主な発見

• 体 $E$ が1次元局所クラス体論を許容するための必要十分条件は、$E$ の各素点 $p \in P(E)$ に対して非自明な絶対値の系 $\{v(p)\}_{p \in P(E)}$ が存在し、$E(p) \otimes_E E_{v(p)}$ が体となることである。
• 任意の有限拡大 $R/E$ のノルム群 $N(R/E)$ は、一意に定まる有限アーベル拡大 $\Phi(R)/E$ に対して $N(R/E) = N(\Phi(R)/E)$ に等しい。この $\Phi(R)/E$ は古典的局所再帰性法則を満たす。
• 商 $E^* / N(\Phi(R)/E)$ はガロア群 $\mathcal{G}(\Phi(R)/E)$ に同型であり、局所再帰性法則の正当性が裏付けられる。
• ブラウエール群 $\text{Br}(E)$ は、各 $p \in P(E)$ に対して非自明な $p$-成分 $\text{Br}(E)_p$ の直和に同型であり、$E$ は各 $p \in P(E)$ に対して $p$-準局所的である。
• 任意の非空な素数の集合 $P$ およびグローバル体 $E_0$ 上の絶対値の系 $\{w(p)\}_{p \in P}$ に対して、$P(K) = P$ かつ各 $p \in P$ に対して $\kappa(p) \in V(K)$ が $w(p)$ を拡張するような、$E_0$ 上に代数的な体 $K$ が存在する。
• 具体的な例により、$N_{\text{loc}}(R/E) \subsetneq N(R/E)$ であることが示されている：$R = E(\alpha)$ で $\alpha$ が多項式 $X^4 + 8X^2 + 256X - 20$ の根であるとき、$E^* / N_{\text{loc}}(R/E)$ は位数12の非巡回群であり、$-20 \notin N_{\text{loc}}(R/E)$ である。