[論文レビュー] Algebraic geometry codes and some applications

Alain Couvreur, Hugues Randriambololona|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 110被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限体上の代数曲線から構築される代数幾何学的（AG）符号について調査し、その構築法、最小距離の改良された下界、復号化アルゴリズムを詳述する。主な進展として、平方体におけるTsfasman–Vläduć–Zinkの下界がGilbert–Varshamovの下界を上回ること、および公開鍵暗号、秘密分散、分散ストレージ用の局所回復可能符号への応用が強調されている。

ABSTRACT

This article surveys the development of the theory of algebraic geometry codes since their discovery in the late 70's. We summarize the major results on various problems such as: asymptotic parameters, improved estimates on the minimum distance, and decoding algorithms. In addition, we present various modern applications of these codes such as public-key cryptography, algebraic complexity theory, multiparty computation or distributed storage.

研究の動機と目的

• 1970年代後半に発見されて以来の代数幾何学的符号の発展を包括的にサーベイすること。
• 漸近的パラメータ、最小距離の下界、復号化アルゴリズムに関する主要な理論的結果を要約すること。
• AG符号の現代的応用、特に公開鍵暗号、マルチパーティ計算、秘密分散、分散ストレージシステムにおける応用を提示すること。
• 特に平方体において優れた符号パラメータを達成するための有理点を多く持つ曲線の役割を強調すること。
• 曲線のファイバー積を用いて、複数の回復集合を備えた局所回復可能符号（LRC）を構築する方法を検討すること。

提案手法

• 有限体上の代数幾何学、特に曲線上の有理関数と微分形式を用いてAG符号を構築する。
• 関数体と因子の理論を適用し、リーマン・ロッホ空間を介してAG符号を定義・分析する。
• Garcia-Stichtenothのような再帰的塔を用いて、有理点の数が多い曲線の系列を構築する。
• 曲線のファイバー積構成法を用いて、複数の独立した回復集合を備えた局所回復可能符号（LRC）を構築する。
• コードの結合に$\star$-積演算を適用し、フレームプローフ性や秘密分散といった構造的性質を持つ新たなコードを導出する。
• 設計距離の半分まで誤りを訂正できる復号化アルゴリズムや、リスト復号化への拡張を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何学的符号は、特定の有限体に対してどのようにGilbert-Varshamovの下界を上回る漸近的パラメータを達成するのか？
• RQ2 Goppaの元々の推定値を上回る、AG符号の最小距離に関する改善された下界は何か？
• RQ3 従来の半距離下界を上回る誤りを訂正できる、効率的なAG符号の復号化アルゴリズムは設計可能か？
• RQ4 AG符号は、McElieceフレームワークにおいて、どのように安全な公開鍵暗号方式を構築するために活用できるか？
• RQ5 代数曲線から導かれる、複数の回復集合を備えた局所回復可能符号（LRC）の構築法とその性質は何か？

主な発見

• $q = p^2$ または $p^4$ の場合、Tsfasman-Vläduć-Zinkの下界は漸近的レート $ R \geq 1 - \delta - \frac{1}{\sqrt{q}-1} $ を達成し、$ q \geq 49 $ のときGilbert-Varshamovの下界を上回る。
• Ihara定数 $ A(q) $ はモジュラー曲線およびシムーラ曲線によって達成され、Drinfeld-Vlädućによりこの下界が最適であると証明された。
• 再帰的塔（例：Garcia-Stichtenoth）により、$ \limsup_{g \to \infty} \frac{\max |X(\mathbb{F}_q)|}{g} = A(q) $ を満たす曲線の明示的構成が可能であり、最適な符号系列の構築が可能となる。
• genus $ g $ の曲線から構築されるAG符号は、Goppaの推定値を上回る最小距離の下界を有し、既存の最良パラメータ表を上回る符号を実現可能である。
• 有理点の数が多いうえで、ファイバー積を用いた構成により、可用性 $ t \geq 2 $ を備えた局所回復可能符号（LRC）が構築可能である。
• 写像 $ \phi_1, \phi_2 $ と $ \Phi^*G $ を用いて定義される符号 $ \mathcal{C} $ は、$ [n,k,d] $ のパラメータを有し、$ n = s(\ell_1+1)(\ell_2+1) $、$ k \geq (\deg G + 1 - g_X)\ell_1\ell_2 $、$ d \geq n - \deg G(\ell_1+1)(\ell_2+1) - \cdots $ を満たし、良好な局所性と距離を保証する。