[論文レビュー] Algebraic Jf-theory and Trace Invariants

Lars Hesselholt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、代数的K理論から位相的制限ホモロジー(TR)への巡回的トレース写像を調査し、正則なFp代数および分離的閉じた残渣体をもつ混合特徴値0のHenselian整域の環に対して、K*(A, ℤ/pᵛ) ≅ TR*(A; p, ℤ/pᵛ)^F=1 が成り立つことを示している。TR*(A; p)がde Rham-Witt複体によって支配されることを確立し、剛体的で作用素に基づく構造における代数的不変量を用いてK理論の計算を可能にした。

ABSTRACT

The cyclotomic trace of Bokstedt-Hsiang-Madsen, the subject of Bokstedt's lecture at the congress in Kyoto, is a map of pro-abelian groups K-fiA) ^.TR;(A;p) from Quillen's algebraic A-theory to a topological refinement of Connes' cyclic homology. Over the last decade, our understanding of the target and its relation to A-theory has been significantly advanced. This and possible future development is the topic of my lecture. The cyclotomic trace takes values in the subset fixed by an operator F called the Frobenius. It is known that the induced map K*(A,Z/pv) -^ TR;(A;P,Z/PV)F=1 is an isomorphism, for instance, if A is a regular local Fp-algebra, or if A is a henselian discrete valuation ring of mixed characteristic (0,p) with a separably closed residue field. It is possible to evaluate A-theory by means of the cyclotomic trace for a wider class of rings, but the precise connection becomes slightly more complicated to spell out. The pro-abelian groups TR*(A;p) are typically very large. But they come equipped with a number of operators, and the combined algebraic structure is quite rigid. There is a universal example of this structure — the de Rham-Witt complex — which was first considered by Bloch-Deligne -Illusie in connection with Grothendieck's crystalline cohomology. In general, the canonical map W.QqA^TR-q(A-p) is an isomorphism, if q < 1, and the higher groups, too, can often be expressed in terms of the de Rham-Witt groups. This is true, for example, if A is a regular Fp-algebra, or if A is a smooth algebra over the ring of integers in a local number field. The calculation in the latter case verifies the LichtenbaumQuillen conjecture for focal number fields, or more generally, for henselian discrete valuation fields of geometric type.

研究の動機と目的

• p進環に対して代数的K理論と位相的制限ホモロジー(TR)を結ぶ巡回的トレースの役割を明確化すること。
• pro-アーベル群TR*(A; p)の構造およびフロベニウス作用素Fによる固定点の構造を理解すること。
• より広い環のクラスに対して、巡回的トレースがK*(A, ℤ/pᵛ) ≅ TR*(A; p, ℤ/pᵛ)^F=1 を誘導する条件を同定すること。
• 有利な場合に、de Rham-Witt複体がTR*(A; p)のモデルとして普遍的であることを確立すること。
• TR理論による計算を通じて、局所数体のLichtenbaum-Quillen予想を検証すること。

提案手法

• Quillenの代数的K理論K*(A)からpro-アーベル群TR*(A; p)への巡回的トレース写像を用い、Connesの巡回ホモロジーの位相的修正を特徴づける。
• フロベニウス作用素FによるTR*(A; p)の固定点、特に部分群TR*(A; p, ℤ/pᵛ)^F=1 を分析する。
• AがFp上正則または局所数体の整数環上の滑らか代数である場合に、de Rham-Witt複体をTR*(A; p)を支配する普遍的構造として適用する。
• q < 1 に対してW_q(A)とTR_q(A; p)の既知の同型を用い、適切な正則性条件下で高次のqへと拡張する。
• フロベニウス、Verschiebung、Teichmüller写像を含むTR*(A; p)上の代数的構造の剛体性を活用し、構造的制御を導出する。
• 分離的閉じた残渣体をもつHenselian離散付値環に関する結果を応用し、幾何的状況におけるLichtenbaum-Quillen予想の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回的トレースがK*(A, ℤ/pᵛ) ≅ TR*(A; p, ℤ/pᵛ)^F=1 を誘導する条件は何か？
• RQ2 de Rham-Witt複体は、代数的K理論の計算においてTR*(A; p)の普遍的モデルとしてどのように機能するか？
• RQ3 正則なFp代数を超える環に対して、代数的K理論はどの程度TR理論によって計算可能か？
• RQ4 q ≥ 1 に対して、TR*(A; p)とde Rham-Witt群W_q(A)の正確な関係は何か？
• RQ5 TR理論の枠組みは、幾何的タイプのHenselian離散付値体のLichtenbaum-Quillen予想を検証できるか？

主な発見

• Aが正則局所Fp代数であるとき、巡回的トレースはK*(A, ℤ/pᵛ) ≅ TR*(A; p, ℤ/pᵛ)^F=1 を誘導する。
• Aが混合特徴値(0,p)のHenselian離散付値環で、残渣体が分離的閉じているとき、同様の同型が成り立つ。
• すべてのq < 1 に対して、自然な写像W_q(A) → TR_q(A; p)は同型であり、de Rham-Witt理論とTR理論の基礎的リンクを提供する。
• 局所数体の整数環上の滑らか代数に対しては、TR*(A; p)がde Rham-Witt群を用いて表現可能であり、K理論の計算が可能になる。
• このような環に対するTR*(A; p)の計算は、焦点となる数体におけるLichtenbaum-Quillen予想を検証する。
• TR*(A; p)の構造は剛体的であり、de Rham-Witt複体によって支配されており、このクラスのpro-アーベル群の普遍的モデルとして機能する。