[論文レビュー] Algebraic K-theory of the fraction field of topological K-theory

Christian Ausoni, John Rognes|ArXiv.org|Nov 25, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、トポロジカル巡回ホモロジーを用いて、$S$-代数 $\ell/p = k(1)$ の代数的K理論を $p$ および $v_1$ を法として計算し、その結果を用いて、$K(L/p) \to K(L_p)$ の転送写像のホモトピーコファイバーを、トポロジカルK理論の $p$-完備化されたアダムス和分解の『分数体』の代数的K理論として同定する。これらの結果は、$p$-進体におけるTate–Poitou双対性に類似した算術双対性定理の存在を示唆する。

ABSTRACT

We compute the algebraic K-theory modulo p and v_1 of the S-algebra ell/p = k(1), using topological cyclic homology. We use this to compute the homotopy cofiber of a transfer map K(L/p) --> K(L_p), which we interpret as the algebraic K-theory of the "fraction field" of the p-complete Adams summand of topological K-theory. The results suggest that there is an arithmetic duality theorem for this fraction field, much like Tate--Poitou duality for p-adic fields.

研究の動機と目的

• トポロジカルK理論の $p$-完備化されたアダムス和分解 $\ell_p$ の代数的K理論を、ガロア降下と局所化を用いて理解すること。
• $\ell_p$ の『分数体』$\mathrm{ff}(\ell_p)$ を、転送写像 $K(L/p) \to K(L_p)$ の終域として同定し、そのコファイバーが $K(\mathrm{ff}(\ell_p))$ であると予想すること。
• $K(\mathbb{Z}_p)$ や $K(\mathbb{Q}_p)$ の構造に類似した、$V(1)$-ホモトピー群の概念的枠組みを $K(\mathrm{ff}(\ell_p))$ に対して確立すること。
• $\mathrm{ff}(\ell_p)$ の代数的K理論が、$p$-進体におけるTate–Poitou双対性に類似した算術双対性を満たすと提案すること。
• $K(n)$-局所化ガロア拡大を用いて、より高次のチロノロジー次元にこの枠組みを拡張し、$L_{K(n+1)}K(\Omega_n) \simeq E_{n+1}$ を予想すること。

提案手法

• トポロジカル巡回ホモロジー（TC）を用いて、$V(1)_*K(\ell/p)$ を計算し、ここで $\ell/p = k(1)$ はアダムス和分解の $p$ を法とする還元である。
• ブルーマンとマンデルが確立した局所化系列 $K(\mathbb{Z}/p) \to K(\ell_p) \to K(L_p)$ を用いて、$K(\ell_p)$ を $K(L_p)$ と関連付ける。
• 転送写像 $K(L/p) \to K(L_p)$ のホモトピーコファイバーを、$\ell_p$ の分数体の代数的K理論 $K(\mathrm{ff}(\ell_p))$ として解釈する。
• 可換 $S$-代数のガロア降下スペクトル系列を用いて、$K(\overline{\mathbb{Q}}_p)$ 上の絶対ガロア群の作用をモデル化し、Tate–Poitou双対性を一般化する。
• モチーフ的スペクトル系列とブロッホの高次チャウ群を用いて、$p$ を法とするモチーフ的コホモロジーとガロアコホモロジーを関連付け、$r > i$ で切断する。
• $V(1)_*K(ku)$ に高次ボット要素を構成し、それらを $\mathbb{F}_{p^2}(1)$ 上のガロア作用と関連付ける。$b \mapsto w u^{p+1}$ および $\xi \mapsto u^j$ を用いて $\mathbb{F}_{p^2}[u^{\pm 1}]$ を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルK理論の $p$-完備化されたアダムス和分解 $\ell_p$ の分数体の代数的K理論は何か？
• RQ2 転送写像 $K(L/p) \to K(L_p)$ のホモトピーコファイバーは、$\mathrm{ff}(\ell_p)$ の代数的K理論とどのように関係するか？
• RQ3 $\mathrm{ff}(\ell_p)$ に対して、$\mathbb{Q}_p$ におけるTate–Poitou双対性に類似した算術双対性定理を確立できるか？
• RQ4 高次ボット要素と $V(1)_*K(ku)$ 上のガロア作用は、$\mathbb{F}_{p^2}[u^{\pm 1}]$ の構造をどのように実現するか？
• RQ5 $K(n)$-局所化ガロア拡大を用いて、この枠組みをより高次のチロノロジー次元に拡張でき、$L_{K(n+1)}K(\Omega_n) \simeq E_{n+1}$ のような予想された同型を導けるか？

主な発見

• $K(\ell/p)$ の $V(1)$-ホモトピー群は、$P(v_2) = \mathbb{F}_p[v_2]$ 上の自由加群として計算され、$|v_2| = 2p^2 - 2$ であり、$4p+4$ 個の生成子を持つ。
• 転送写像 $K(L/p) \to K(L_p)$ のホモトピーコファイバーは、$\ell_p$ の分数体の代数的K理論 $K(\mathrm{ff}(\ell_p))$ に同定される。
• $V(1)_*K(\mathrm{ff}(\ell_p))$ の構造は、$p$-進体におけるTate–Poitou双対性に類似した算術双対性を満たすと予想される。
• $V(1)_{2p+2}K(\Omega_1)[v_2^{-1}]$ の生成子は、非分岐 $\Delta$-ガロア拡大 $L_p \to KU_p$ によって実現され、$w \in \mathbb{F}_{p^2}^\times$ で $w^{p-1} = -1$ を満たす $w$ の像は $wu^{p+1}$ である。
• 高次ボット要素 $b \in V(1)_{2p+2}K(ku)$ は $b^{p-1} = -v_2 = -u^{p^2 - 1}$ を満たし、その像は $V(1)_*K(\Omega_1)[v_2^{-1}]$ 内で $\mathbb{F}_{p^2}\{u^{p+1}\}$ を生成する。
• $L_{K(n+1)}K(\Omega_n) \simeq E_{n+1}$ の予想が提示され、ここで $\Omega_n$ は $L_{K(n)}S$ や $E_n$ の分数体の $K(n)$-局所化分離閉包である。これは算術双対性のチロノロジー的拡張を示唆する。