[論文レビュー] Galois extensions of structured ring spectra

John Rognes|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 77被引用数 64

ひとこと要約

この論文は、可換 $S$-代数（構造付き環スペクトラ）に対する一般化されたガロア理論を確立し、ホモトピー固定点とスメッシュ積条件を用いて $E$-局所 $G$-ガロア拡大を導入する。主な結果は、$G$ の部分群と中間の分離拡大の間の双対的かつ全単射なガロア対応であり、古典的ガロア理論を安定ホモトピー理論へと拡張し、$K$-理論、リュービン＝タートスペクトル、および複素コホモロジーの応用を含む。

ABSTRACT

We introduce the notion of a Galois extension of commutative S-algebras (E_infty ring spectra), often localized with respect to a fixed homology theory. There are numerous examples, including some involving Eilenberg-Mac Lane spectra of commutative rings, real and complex topological K-theory, Lubin-Tate spectra and cochain S-algebras. We establish the main theorem of Galois theory in this generality. Its proof involves the notions of separable and etale extensions of commutative S-algebras, and the Goerss-Hopkins-Miller theory for E_infty mapping spaces. We show that the global sphere spectrum S is separably closed, using Minkowski's discriminant theorem, and we estimate the separable closure of its localization with respect to each of the Morava K-theories. We also define Hopf-Galois extensions of commutative S-algebras, and study the complex cobordism spectrum MU as a common integral model for all of the local Lubin-Tate Galois extensions.

研究の動機と目的

• 可換 $S$-代数に対するホモトピー論的類似物として、古典的ガロア理論を発展させ、算術的および幾何的概念を構造付き環スペクトルへ一般化すること。
• ホモトピー固定点とスメッシュ積条件を用いて、$E$-局所 $G$-ガロア拡大を定義・特徴づけ、安定ホモトピー論と整合することを保証すること。
• 忠実な $E$-局所 $G$-ガロア拡大における、有限群 $G$ の部分群と中間の分離拡大との間の双対的かつ全単射なガロア対応を確立すること。
• 複素コホモロジー $MU$ がホップコアクションを通じてリュービン＝タートスペクトルのガロア拡大の普遍的整数的モデルとして機能することを分析すること。
• 球面スペクトルの分離的閉包とその $K(n)$-局所化を、ミンコフスキーの判別式定理を用いて分析すること。

提案手法

• ホモトピー同型 $A \to B^{hG}$ および $B \bigwedge_A B \to \textstyle\bigprod_G B$ を、$E_*$-ホモロジーにおいて用いて、$E$-局所 $G$-ガロア拡大を定義する。
• コボルント解像を用いて、可換 $S$-代数の圏における拡大定義のホモトピー不変性を保証する。
• グーバース＝ホピン＝マーラー理論を適用して、$E_\infty$-写像空間を制御し、$E$-局所 $G$-ガロア拡大を構成する。
• 乗法写像 $B \bigwedge_A B \to B$ のホモトピー的バイモジュール切断を用いて、分離性を確立する。
• ホプキンズ＝マーラー定理を用いて、リュービン＝タートスペクトル $E_n$ の自己写像が、$ _0(E_n)$ におけるその作用によって決定されることを示し、自己同型と形式的群法則の同型を結びつける。
• チム対角と $S[BU]$-コアクションを用いて、$MU$ の複素方向性と $K(n)$-局所化におけるガロア的作用との関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ガロア理論は、安定ホモトピー論の文脈において、構造付き環スペクトルへどのように拡張可能か？
• RQ2 可換 $S$-代数の写像が忠実な $E$-局所 $G$-ガロア拡大であるための条件は何か？ また、ホモトピー固定点とスメッシュ積とどのように関係するか？
• RQ3 $S$-代数の $G$-ガロア拡大のガロア群は、拡大代数の自己写像空間から回復可能か？
• RQ4 複素コホモロジースペクトル $MU$ は、異なるクロモティックレベルにおいて、リュービン＝タートスペクトルのガロア拡大の普遍的モデルとしてどのように機能するか？
• RQ5 球面スペクトル $S$ の分離的閉包およびその $K(n)$-局所化は何か？ また、ミンコフスキーの判別式定理はこの文脈でどのように適用されるか？

主な発見

• 主定理は、部分群 $K \subset G$ と弱同値類の分離的 $A$-代数 $C = B^{hK}$ の間の双対的かつ全単射なガロア対応を確立する。ここで $C \to B$ は忠実である。
• $B$ が連結な忠実な $E$-局所 $G$-ガロア拡大 $A \to B$ に対して、ガロア群 $G$ は、$B$ の可換 $A$-代数自己写像の空間 $\mathcal{C}_A(B,B)$ とホモトピー的に弱同値である。
• 球面スペクトル $S$ は、その $K(n)$-局所化にミンコフスキーの判別式定理を適用することで、分離的に閉じていることが示された。
• 複素コホモロジースペクトル $MU$ は、$S[BU]$ を通じたホップコアクションを備えており、これによりリュービン＝タートスペクトル $E_n$ におけるプロファイント群 $\mathbb{G}_n$ のガロア作用が符号化されており、グローバルなガロア群が存在しない場合でも成立する。
• リュービン＝タートスペクトルの形式的群法則の自己同型 $g \in \mathbb{G}_n$ は、一意に $E_n$ の自己写像に引き上げられ、$ _0(E_n)$ におけるその作用と普遍変形によって決定される。
• $K(n)$-局所化 $L_{K(n)}S \to E_n$ は、モラバ安定化群のプロファイント完備化による $\mathbb{G}_n$-ガロア拡大であり、ガロア群 $\mathbb{G}_n$ がその作用を果たす。