[論文レビュー] Algebraic model structures

Emily Riehl|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、古典的弱ファクタリゼーション系の代わりに代数的弱ファクタリゼーション系（awfs）を用いて構築された代数的モデル構造——モデル圏——を導入する。すべてのクーフリエント生成モデル構造がガーナーの小さな対象の方法を修正することで代数的精錬を受けることができ、ファイブレーション・コファイブレーションの置換の自然な比較写像を可能にし、自然性の性質が強化された代数的クイレン随伴を確立する。

ABSTRACT

We define a new notion of an algebraic model structure, in which the cofibrations and fibrations are retracts of coalgebras for comonads and algebras for monads, and prove "algebraic" analogs of classical results. Using a modified version of Quillen's small object argument, we show that every cofibrantly generated model structure in the usual sense underlies a cofibrantly generated algebraic model structure. We show how to pass a cofibrantly generated algebraic model structure across an adjunction, and we characterize the algebraic Quillen adjunction that results. We prove that pointwise natural weak factorization systems on diagram categories are cofibrantly generated if the original ones are, and we give an algebraic generalization of the projective model structure. Finally, we prove that certain fundamental comparison maps present in any cofibrantly generated model category are cofibrations when the cofibrations are monomorphisms, a conclusion that does not seem to be provable in the classical, non-algebraic, theory.

研究の動機と目的

• 代数的弱ファクタリゼーション系（awfs）を用いて代数的モデル構造を定義・形式化し、古典的モデル圏論を拡張すること。
• 生成データから得られる修正された小さな対象の方法を用いて、すべてのクーフリエント生成モデル構造が代数的モデル構造をもつことの証明。
• カーンの随伴結果を代数的設定に一般化し、代数的クイレン随伴を定義し、代数の間の関手の自然な持ち上げを可能にする。
• 図式圏上の点ごとのawfsが、基本となるawfsがクーフリエント生成であればクーフリエント生成であることを示し、代数的プロジェクティブモデル構造を構成すること。
• クーフリエント生成モデル圏におけるファイブレーション・コファイブレーションの置換の間の比較写像が、コファイブレーションであることを示す——これは古典的理論では到達できない結果。

提案手法

• コモナドとモノイドの余代数と代数の再帰的再構成として、コファイブレーションとファイブレーションを定義し、awfsから生じる関手的ファクタリゼーションを用いて代数的モデル構造を定義する。
• ガーナーの小さな対象の方法の修正版を用い、生成データからクーフリエント生成awfsを構成し、代数的構造が保たれることを保証する。
• ファイブレーション・コファイブレーションの置換の間の自然な比較写像を導入し、代数的双ファイブレーション対象の定義を可能にする。
• モデル圏間の随伴が、awfsの代数の圏への関手への持ち上げに拡張できることを証明し、代数的クイレン随伴を定義する。
• 図式圏上の点ごとのawfsが、基本となるawfsがクーフリエント生成であればクーフリエント生成であることを示し、その結果、代数的プロジェクティブモデル構造を構成する。
• 仲間対応（mate correspondence）と単位・余単位の普遍的性質を用いて、代数的クイレン随伴における持ち上げの自然性と、主要図式の可換性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのクーフリエント生成モデル構造は、awfsを用いて代数的精錬を受けることができるか？ また、その際、元のモデル構造は保たれるか？
• RQ2 モデル圏間の随伴が、awfsの代数の圏への関手への持ち上げにどのように拡張できるか？ そして、その持ち上げが満たす性質は何か？
• RQ3 図式圏上の点ごとのawfsがクーフリエント生成であるための条件は何か？ また、代数的プロジェクティブモデル構造はどのように構成できるか？
• RQ4 クーフリエント生成モデル圏におけるファイブレーション・コファイブレーションの置換の間の比較写像は、自然にコファイブレーションであるか？ どのような条件下で成立するか？
• RQ5 クイレン随伴における持ち上げの自然性を代数的に強化することは可能か？ その結果、随伴の構造にどのような影響があるか？

主な発見

• すべてのクーフリエント生成モデル構造は、修正された小さな対象の方法によって生成されるawfsを用いて、代数的モデル構造をもつ——元のモデル構造を保ちつつ。
• コファイブレーションがモノモルフィズムである場合、クーフリエント生成モデル圏におけるファイブレーション・コファイブレーションの置換の間の比較写像はコファイブレーションである——これは古典的モデル圏論では証明できない結果。
• モデル圏間の随伴は、右随伴がモノイドの代数を保存し、左随伴がコモナドの余代数を保存する代数的クイレン随伴に持ち上がる——その持ち上げは仲間（mates）によって自然に定義される。
• 図式圏上の点ごとのawfsが、基本となるawfsがクーフリエント生成であればクーフリエント生成である——その結果、代数的プロジェクティブモデル構造を構成可能。
• 代数的クイレン随伴における関手の持ち上げの自然変換は、随伴の単位と余単位と可換であり、整合性と自然性を保証する。
• 代数的構造により、余代数や代数の写像に関して自然な方法で定まる、リフト問題の標準的解が得られ、古典的パス・リフト構成を一般化する。