[論文レビュー] Homotopy-theoretic aspects of 2-monads

Stephen Lack|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 48

ひとこと要約

この論文は、Cat-豊密化モデル圏を用いて2-モノイドのホモトピー論的枠組みを構築し、2-モノイドの代数的構造に対する2圏と2-モノイド圏自体の非自明なモデル構造を構成する。主な貢献は、弱同値を基底圏の自明なモデル構造に従って定義する厳密T代数におけるモデル構造であり、2圏論における代数的構造のホモトピー的解析を可能にし、モノイドの柔軟性がファイブリャー性と同値の沿った構造の輸送を保証する。

ABSTRACT

We study 2-monads and their algebras using a Cat-enriched version of Quillen model categories, emphasizing the parallels between the homotopical and 2-categorical points of view. Every 2-category with finite limits and colimits has a canonical model structure in which the weak equivalences are the equivalences; we use these to construct more interesting model structures on 2-categories, including a model structure on the 2-category of algebras for a 2-monad T, and a model structure on a 2-category of 2-monads on a fixed 2-category K.

研究の動機と目的

• Cat-豊密化モデル圏を用いて2-モノイド論のホモトピー論的枠組みを確立すること。
• 2-モノイドの代数的2圏に非自明なモデル構造を構成し、標準的な自明なモデル構造を超えること。
• 2圏において同値に沿って代数的構造を輸送できる条件を明確化すること、特に柔軟なモノイドを介して。
• T代数から基底2圏への忘却2ファンクターのファイブレーションおよびホモトピー的性質を調査すること。
• モノイド準同態の2次元的リフト性質と、それらが代数的2圏におけるファイブレーションに与える影響を調査すること。

提案手法

• 基底圏がCatの標準的モデル構造を持つCat-豊密化モデル圏を用い、2圏におけるモデル構造を定義する。
• 有限極限と余極限を持つ任意の2圏に、弱同値が圏の同値である自明なモデル構造を定義する。
• 忘却2ファンクター U_s: T-Alg_s → K 沿って自明なモデル構造を引き戻すことにより、厳密T代数の2圏におけるモデル構造を定義する。
• クイレンのモデル理論からのリフト技法を適用し、2-モノイドTが柔軟である場合に、同値に沿って代数的構造を拡張することを可能にする。
• モノイド準同態 j: S → T の2次元的リフト性質を分析し、j* がコヒューレント性の仮定のもとでファイブレーションおよび自明なファイブレーションを保存することを示す。
• モノイドから代数的2圏への半ファンクターがファイブレーションおよび自明なファイブレーションを保存することを示すが、サイズの制約により完全な左随伴は存在しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-モノイドの代数的構造は、基底2圏における同値に沿っていつ輸送可能か？
• RQ2 Catにおける豊密化を用いて、2-モノイドの代数的2圏にモデル構造をどのように構成できるか？
• RQ3 2-モノイドの柔軟性がファイブリャー性と代数的構造のリフトに果たす役割は何か？
• RQ4 モノイド準同態は代数のレベルでどのようにファイブレーションを誘導し、弱同値をいつ保存するか？
• RQ5 なぜ2ファンクター sem: Mnd_f(K)^op → 2-CAT/K は左随伴を持たないのか？どのような部分2圏がこのような随伴を支持するか？

主な発見

• 有限極限と余極限を持つ任意の2圏には、弱同値が圏の同値である自明なモデル構造が存在する。
• T-Alg_s におけるモデル構造は非自明である：T-Alg_s における弱同値は、必ずしも2圏内の代数の同値ではない。
• 柔軟な2-モノイドでは、代数的構造を同値に沿って輸送可能であり、忘却2ファンクター U: T-Alg → K がファイブレーションであることを保証する。
• 忘却2ファンクター U: T-Alg_s → K がファイブレーションであることは、T が柔軟であることと同値であり、これは同値に沿ったリフトの普遍性に等しい。
• モノイドから代数的2圏への半ファンクターはファイブレーションおよび自明なファイブレーションを保存するが、2-CAT/K のサイズ制約により左随伴は存在しない。
• sem が左随伴を持たない理由は 2-CAT/K のサイズに起因する。適切な小さな部分2圏が、このような随伴を支持する可能性がある。