[論文レビュー] Algebraic models of homotopy types and the homotopy hypothesis

Simon Henry|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、弱∞-群コホモロジーの代数的構造であるシリンダー同調子を導入する。これらは、位相空間の古典的モデルカテゴリとクィレン同値である、組合せ的半モデルカテゴリを生成する。本稿は、型理論に基づく同調子を含むこれらの同調子が、空間と同値であるホモトピー型の代数的モデルをもたらすことで、ホモトピー仮説の新しい枠組みを確立する。

ABSTRACT

We introduce and study a notion of cylinder coherator similar to the notion of Grothendieck coherator which define more flexible notion of weak infinity groupoids. We show that each such cylinder coherator produces a combinatorial semi-model category of weak infinity groupoids, whose objects are all fibrant and which is in a precise sense "freely generated by an object". We show that all those semi model categories are Quillen equivalent together and Quillen to the model category of spaces. A general procedure is given to produce such coherator, and several explicit examples are presented: one which is simplicial in nature and allows the comparison to the model category for spaces. A second example can be describe as the category of globular sets endowed with "all the operations that can be defined within a weak type theory". This second notion seem to provide a definition of weak infinity groupoids which can be defined internally within type theory and which is classically equivalent to homotopy types. Finally, the category of Grothendieck infinity groupoids for a fixed Grothendieck coherator would be an example of this formalism under a seemingly simple conjecture whose validity is shown to imply Grothendieck homotopy hypothesis. This conjecture seem to sum up what needs to be proved at a technical level to ensure that the theory of Grothendieck weak infinity groupoid is well behaved.

研究の動機と目的

• シリンダー同調子を用いた、弱∞-群コホモロジーの柔軟な代数的枠組みの構築。
• すべてのこうしたシリンダ同調子が、位相空間のカテゴリとクィレン同値である半モデルカテゴリを生成することの証明。
• 弱∞-群コホモロジーの概念が、内挿的型理論内でのみ定義可能であることを示すこと。
• 型理論的構成と古典的ホモトピー論を結びつけることで、ホモトピー仮説の新しい証明を提供すること。

提案手法

• グロテンディーク同調子の一般化としてシリンダー同調子を導入し、弱∞-群コホモロジーを自由に生成する代数的構造を定義する。
• 各シリンダ同調子に対して、すべての対象がファイブレーションである、弱∞-群コホモロジーの組合せ的半モデルカテゴリを構成する。
• 前シリンダー圏における弱モデル構造を用いて、パス対象やファイブレーションなどのホモトピー論的演算を定義する。
• 型理論の構文的圏（T∗_w.i.e.）に対して完成手続きを適用し、弱∞-群コホモロジーの代数的モデルを獲得する。
• 構文的圏 T∗_w.i.e. からの準同型が弱同値を保存することを示し、ホモトピー論と整合することを保証する。
• T∗_w.i.e. の構文的圏の反対圏がシリンダー同調子であることを証明し、型理論内で弱∞-群コホモロジーを内部的に定義可能であることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シリンダー同調子を用いて、空間とクィレン同値である弱∞-群コホモロジーの半モデルカテゴリを構成できるか？
• RQ2 内挿的型理論内で定義可能で、かつ古典的にホモトピー型と同値である弱∞-群コホモロジーの型理論的構成は存在するか？
• RQ3 恒等型を備えた内挿的型理論 T∗_w.i.e. の構文的圏は、有効なシリンダー同調子をもたらすか？
• RQ4 弱∞-群コホモロジーの完全に代数的かつ型理論的な構成によって、ホモトピー仮説を証明できるか？
• RQ5 どのような条件下で、シリンダー同調子が適切に振る舞うホモトピー型のモデルを生成するか？

主な発見

• 各シリンダー同調子は、すべての対象がファイブレーションである、弱∞-群コホモロジーの組合せ的半モデルカテゴリを生成する。
• こうしたすべての半モデルカテゴリは、位相空間の標準的モデルカテゴリとクィレン同値である。
• 型理論 T∗_w.i.e.（恒等型と反射性を備える）の構文的圏は、完成化が型理論的構成によって定義される演算を備えたグローブラーセットのカテゴリとなるシリンダー同調子を生成する。
• C(T∗_w.i.e.)^op の完成化は、パス対象やホモトピーを含む、内挿的型理論で定義可能なすべての演算を備えたグローブラーセットのカテゴリである。
• T∗_w.i.e. を用いた弱∞-群コホモロジーの構成は、型理論内で内部的に定義可能であり、ブルネリのアプローチを一般化する。
• 本稿は、グロテンディークのホモトピー仮説が、T∗_w.i.e. の構文的圏に関する1つの技術的予想に依存することを示しており、これが真であればモデルは適切に振る舞い、空間と同値であることが保証される。