[論文レビュー] Algebraic points on Shimura curves of $\Gamma_0(p)$-type (III)

Keisuke Arai, Fumiyuki Momose|arXiv (Cornell University)|May 16, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、十分に大きな素数 p に対して、特定の数体上における Γ₀(p)-型のシムーラ曲線に有理点が存在しないことを、虚二次体のヒルベルト類体の存在の欠如およびクaternion代数の局所非分解条件といった弱い条件下で証明する。主な貢献は、モジュラー曲線における古典的な存在しない結果をシムーラ曲線の設定に一般化したことであり、明示的な例も提示されている。

ABSTRACT

In previous articles, we classified the characters associated to algebraic points on Shimura curves of $\\Gamma_0(p)$-type, and over number fields in a certain large class we showed that there are at most elliptic points on such a Shimura curve for every sufficiently large prime number $p$. In this article, we prove the non-existence of elliptic points on Shimura curves of $\\Gamma_0(p)$-type under a mild assumption. We also give an explicit example.

研究の動機と目的

• モジュラー曲線における有理点の非存在結果を、Γ₀(p)-型のシムーラ曲線へ拡張すること。
• このようなシムーラ曲線が数体上に楕円点を有するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 大いなる素数 p および数体 k に対して M₀ᴮ(p)(k) = ∅ となる条件を確立すること。
• 与えられた条件下で、有理点を持たない曲線の明示的例を提供すること。
• クォータニオン代数とガロア表現が、これらの曲線上の有理点を妨げる役割を明確にすること。

提案手法

• QM-アーベル曲面に関連するガロア表現を用いて、p- torsion 点への作用を分析する。
• mod p の円分指標と指標分解を適用し、ガロア像の構造を研究する。
• B⊗ℚ(√−q) ≇ M₂(ℚ(√−q)) なる非分解条件を用いて、有理点の存在を除外する。
• 奇数の次数の素点および非分岐残余体の特徴を持つ場所での局所的挙動を分析し、グローバルな障害を導出する。
• 類体論とヒルベルト類体の障害を用いて、有理点の存在を除外する。
• 特定のケース（d=6, d=22）における明示的計算を用いて、条件の検証と定理の図示を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で、大いなる p に対して数体 k 上の Γ₀(p)-型シムーラ曲線に有理点が存在しないか？
• RQ2 基底体が虚二次体のヒルベルト類体を含まないとき、M₀ᴮ(p) が数体上に楕円点を有する可能性はあるか？
• RQ3 クォータニオン代数 B⊗ℚ(√−q) の非分解性が、M₀ᴮ(p) 上の有理点の存在をどのように妨げるか？
• RQ4 ガロア表現 ρ̄A,p が、これらの曲線上の有理点の存在を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 与えられた仮定のもとで、有理点を持たないこのような曲線の明示的例を構成できるか？

主な発見

• 任意の虚二次体のヒルベルト類体を含まない有限のガロア拡大 k/ℚ であって、弱い局所的条件を満たすものに対して、すべての十分に大きな素数 p に対して M₀ᴮ(p)(k) = ∅ である。
• k 内の奇数の次数の素点 q において、B⊗ℚ(√−q) ≇ M₂(ℚ(√−q)) である非分解条件が、大いなる p に対して M₀ᴮ(p)(k) に有理点が存在しないことを保証する。
• d=6 および d=22 の場合に、定理の条件が検証され、p > 128 のとき M₀ᴮ(p)(k) = ∅ となる明示的例が構成された。
• d=6 または d=22 のとき、Mᴮ は k 上で無限個の有理点を持つが、M₀ᴮ(p) は大いなる p に対して k 上に有理点を持たない。
• 非分解条件を満たす奇数の次数の素点の最小ノルムは 32 であり、これが定理の適用範囲を制限する。