[論文レビュー] Algebraic Relaxations and Hardness Results in Polynomial Optimization and Lyapunov Analysis

Amir Ali Ahmadi|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 141被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、多項式最適化および力学系における凸性と安定性を決定する計算複雑性を確立する。4次以上の多項式における凸性、強凸性、擬凸性、擬凸性をテストすることは、強いNP困難であることが証明され、奇数次の場合には多項式時間で決定可能である。主な貢献は、凸多項式と和の平方（sos）-凸多項式が一致する条件の完全な特徴付けである。これは、ヒルベルト1888年の定理に従い、非負多項式が平方の和である場合に限られる。

ABSTRACT

This thesis settles a number of questions related to computational complexity and algebraic, semidefinite programming based relaxations in optimization and control.

研究の動機と目的

• 多変数多項式における凸性および関連する性質（強凸性、擬凸性、擬凸性）を決定する計算複雑性を特定すること。
• 凸性とsos-凸性の関係を特徴付けること—和の平方表現に基づく代数的緩和。
• 非線形かつ不確実な力学系の安定性を証明するための計算技術を開発・分析すること。
• スイッチング線形系の共同スペクトル半径を近似するための、パス・コンプリート・グラフ・リャプノフ関数に基づく統一的枠組みを導入すること。
• 半正定値計画法を用いた安定性解析における、逆リャプノフ定理と近似保証を確立すること。

提案手法

• 4次以上の多項式における凸性および関連性の性質を決定する強NP困難性を示すために、既知のNP困難問題への還元。
• 和の平方（sos）プログラミングを用いた、凸性の3つの同等な代数的緩和を定式化：定義、1階条件、2階条件によるもの。
• 代数幾何学および多項式最適化技術を用いて、sos-凸でない凸多項式の明示的反例を構成。
• パス・コンプリート・グラフ・リャプノフ関数を導入し、ラベル付き有向グラフ内のパスに関連するリャプノフ不等式を設定することで、半正定値計画法による安定性解析を可能にする。
• 平面上または同次多項式ベクトル場の場合、次数を増加させることを許容すれば、多項式リャプノフ関数の存在がsos-凸関数の存在を示唆することを証明。
• パス・コンプリート・グラフの族を用いて、共同スペクトル半径の近似保証を導出。これには真のJSRからの乗法的要因 $1/\sqrt[4]{n}$ が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次多項式の凸性を決定することは計算的に困難か？ もしそうなら、正確な複雑性は何か？
• RQ2 どの次元と次数の範囲で凸多項式とsos-凸多項式が一致するか？
• RQ3 グローバルに漸近的に安定な多項式ベクトル場が、多項式リャプノフ関数をもたないことがあるか？
• RQ4 固定次数の和の平方プログラミングが、存在するにもかかわらず有効なリャプノフ関数を見つけるのに失敗することはあるか？
• RQ5 パス・コンプリート・グラフ・リャプノフ関数は、共同スペクトル半径の妥当な近似を提供できるか？

主な発見

• 4次以上の偶数次多項式における凸性、強凸性、擬凸性、擬凸性を決定することは、強いNP困難である。
• 奇数次多項式の擬凸性と擬凸性は、多項式時間で決定可能である。
• 凸多項式がsos-凸でない最初の既知の例が構成され、凸性とsos-凸性の間に明確なギャップがあることを示した。
• 凸多項式とsos-凸多項式が一致するのは、$n=1$ または $d=2$ または $(n,d)=(2,4)$ の場合に限る（多項式の場合）、$n=2$ または $d=2$ または $(n,d)=(3,4)$ の場合に限る（形式の場合）—これはヒルベルト1888年の非負多項式の特徴付けを反映している。
• 多項式リャプノフ関数をもたない、グローバルに漸近的に安定な3次同次ベクトル場が存在することを示した。これは、このような関数が常に存在するとは限らないことを示している。
• 平面上または同次多項式ベクトル場の場合、次数を増加させることを許容すれば、多項式リャプノフ関数の存在がsos-凸関数の存在を示唆する。これにより、半正定値計画法による有効な探索が可能になる。