[論文レビュー] Algebraic representations and constructible sheaves

Geordie Williamson|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正標数における再帰的代数群の表現理論に対して幾何的アプローチを提示し、Finkelberg-Mirković予想を通じて表現と可 constructible sheaves を結びつける。また、$p$-canonical 基底とパリティ層を用いた tilting モジュールの新しいキャラクター公式を導入する。主な貢献は、$ {GL}_n$ に対して証明済みの、$p$-Kazhdan-Lusztig 多項式と tilting モジュールのキャラクター公式を結びつける予想的枠組みであり、Lusztig のキャラクター公式の計算可能代替手段を提供する。

ABSTRACT

These are notes for my Takagi lecture at the University of Tokyo in November, 2016. I survey what is known about simple modules for reductive algebraic groups. The emphasis is on characteristic p>0 and Lusztig's character formula. I explain ideas connecting representations and constructible sheaves (Finkelberg-Mirkovic conjecture) in the spirit of the Kazhdan-Lusztig conjecture. I also discuss a conjecture with S. Riche (a theorem for GL_n) which should eventually make computations more feasible.

研究の動機と目的

• 正標数における再帰的群の代数的表現とアフィングラスマンジャン上の可 constructible sheaves の間の概念的ブリッジを確立すること。
• Lusztig のキャラクター公式が成立する素数 $p$ がどのようなものかという未解決問題に、局所整数交差コホモロジー群の torsion に帰着させることで対処すること。
• 交差コホモロジーのスターリングの計算が困難であることを踏まえ、$p$-canonical 基底とパリティ層を用いて tilting モジュールのキャラクター公式を計算可能なものにすること。
• モジュラー表現理論と幾何的ラングランズ哲学を統合する枠組みを提供することにより、正標数における Kazhdan-Lusztig パラダイムを拡張すること。

提案手法

• Langlands 双対群 $G^\vee$ のアフィングラスマンジャン上の perverse sheaves に係数を正標数 $p>0$ の体とする Finkelberg-Mirković 予想を用いて、$G$ の表現を関連付ける。
• Koszul双対性を適用し、アフィンヘッケ代数の $p$-canonical 基底とパリティ層を関連づけ、tilting モジュールのキャラクターを計算可能にする。
• 幾何的サタケ同型を基礎的道具として用い、表現をアフィングラスマンジャン上の $G$--equivariant sheaf として実現する。
• アフィンワイル群上の $p$-dilated ドット作用を用いて、基本領域と表現カテゴリのブロックを定義する。
• 交差コホモロジー複体の代わりに、計算が著しく困難である正標数において、パリティ条件（偶奇性）を満たす層（パリティ層）を用いる。
• 拡張された基本ブロック $\mathrm{Rep}_0^{\mathrm{ext}}$ とアフィングラスマンジャン上の畳み込み構造を用いて、ヘッケカテゴリとその表現への作用を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lusztig のキャラクター公式が成立する素数 $p$ は何か？ また、その失敗はどのように制御されるのか？
• RQ2 Finkelberg-Mirković 予想を用いて、正標数におけるすべての単純モジュールに対して一様なキャラクター公式を導出可能か？
• RQ3 交差コホモロジーのスターリングの計算が困難であることを踏まえ、正標数における tilting モジュールのキャラクター計算をいかに可能にするか？
• RQ4 $p$-Kazhdan-Lusztig 多項式とアフィンヘッケ代数における $p$-canonical 基底との正確な関係は何か？
• RQ5 局所整数交差コホモロジー群の torsion クラスは、Lusztig のキャラクター公式の有効性にどのように影響するか？

主な発見

• S. Riche との共同予想は $ {GL}_n$ に対して証明済みであり、tilting モジュールのキャラクター公式を $p$-canonical 基底を用いて与える。Lusztig の公式の計算可能な代替手段を提供する。
• $p$-canonical 基底はアフィングラスマンジャンの幾何とパリティ層から自然に生じ、正標数における tilting モジュールのキャラクターを支配する。
• Finkelberg-Mirković 予想は、$p$ が十分に大きい場合には Lusztig のキャラクター公式を含意し、その有効性の問題を局所整数交差コホモロジー群の torsion を制御することに帰着させる。
• $p$-canonical 基底を用いて定義される $p$-Kazhdan-Lusztig 多項式は、モジュラー表現理論における通常の Kazhdan-Lusztig 多項式の代わりに機能する。
• 定理により、tilting モジュールのキャラクターは反対称 $p$-Kazhdan-Lusztig 多項式の和として表され、$p$ が大きい場合に Lusztig の予想を含意する公式が得られる。
• パリティ層と $p$-canonical 基底による枠組みは、Finkelberg-Mirković 予想と Koszul 双対であることが示され、モジュラー表現理論の背後にある深い幾何的・普遍的構造を示唆する。