[論文レビュー] Localization of modules for a semisimple Lie algebra in prime characteristic

Roman Bezrukavnikov, Ivan Mirković+1 more|ArXiv.org|May 14, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 132

ひとこと要約

本稿では、素数の特性 $p$ における $\\mathfrak{sl}(3)$ の小さな量子群の既約および射影的加群に対応する、退化錐のスプリンガー解体における整合的層を明示的に計算する。導来同値 $\Upsilon$ を用い、フロベニウス押し出しとコhomology計算により層を同定し、既約加群 $L((p-2)\rho)$ が非自明な準同型による twisted 構造層のコーンに一致すること、また射影的被覆が $\widetilde{\mathcal{N}}$ 上のラインバンドルまたは拡張として実現されることを確立する。主な貢献は、$\mathfrak{sl}(3)$ に対してこれらの層の完全な明示的分類を確立したことである。

ABSTRACT

We observe that on the level of derived categories, representations of the Lie algebra of a semisimple algebraic group over a field of characteristic $p> h$ (where $h$ is the Coxeter number), with a given (generalized) central character are the same as the coherent sheaves on (generalized) Springer fibers. The first step is to observe that the derived functor of global sections provides an equivalence between the derived category of $D$-modules (with no divided powers) on the flag variety and the appropriate derived category of modules over the corresponding Lie algebra. Thus the ``derived'' version of the Beilinson-Bernstein localization Theorem holds in sufficiently large positive characteristic. Next, the algebra of (``crystalline'') differential operators is an Azumaya algebra and its splittings on Springer fibers allow us to pass from D-modules to coherent sheaves. As an application we compute the rank of the Grothendieck group of the category of modules over the Lie algebra with a fixed central character.

研究の動機と目的

• 導来同値 $\Upsilon$ の下で、$U_{\hat{0}}^{0}$-加群の既約 $\widetilde{\mathcal{N}}^{(1)}$ 上の整合的層を明示的に計算すること。
• これらの既約加群の射影的被覆を $\widetilde{\mathcal{N}}^{(1)}$ 上の整合的層として特定すること。
• $\Upsilon$-同値を、Ext-群のチェックと $\mathfrak{sl}(3)$ のすべての既約および射影的加群の層論的モデルの構成により検証すること。
• $L((p-2)\rho)$ に対応する層が、$i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}$ と $i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-\rho)[3]$ 間の非自明な準同型のコーンであることを確立すること。
• 射影的被覆が、$\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\rho)$ が $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}$ と $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\rho)$ 間の非自明な拡張として現れるなど、$\widetilde{\mathcal{N}}$ 上のベクトルバンドルまたは拡張として実現されることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、$\Upsilon(i_*\mathcal{F}) = R\Gamma(\mathcal{B}, {\rm Fr}_{\mathcal{B}}^*\mathcal{F})$ を満たす正規化を施した導来同値 $\Upsilon: \mathcal{D}^b(\mathrm{Coh}_{\mathcal{B}^{(1)}}(\widetilde{\mathcal{N}}^{(1)})) \to \mathcal{D}^b(U_{\hat{0}}^{0}\text{-}{\rm Mod}^{fg})$ を用いる。
• Borel-Weil-Bott 定理と $\mathrm{S}(\mathcal{T}_{\mathcal{B}})$ 上での $\mathcal{O}_{\mathcal{B}}$ のコシュール分解を用いて、$\mathcal{B}$ 上の twisted 層のコホモロジーを計算する。
• 既約加群に対しては、$0 \to \Omega^1_{\mathbb{P}^2} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2} \to 0$ の完全系列を用い、フロベニウス引き戻しの $R\Gamma$ を計算する。
• $L((p-2)\rho)$ を Weyl 加群 $[H^0((p-2)\rho)]^*$ の商として同定し、Serre 対称性を用いて $\Upsilon(i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-\rho)[-3]) = [H^0((p-2)\rho)]^*[-3]$ を示し、コーン構成に至る。
• 射影的被覆に対しては、$\widetilde{\mathcal{N}}$ 上のベクトルバンドルや拡張として層を構成する。例えば $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\rho)$ は $H^1(\mathcal{T}_{\mathcal{B}}(-\rho))$ から生じる非自明な拡張であり、スペクトル系列とコホモロジー計算により Ext の消滅を検証する。
• $\Upsilon$-同値と導来圏の構造を用い、射影的被覆と既約加群の間の Ext 群が正しい次数でのみ一様次元であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数特性における $\mathfrak{sl}(3)$ の $U_{\hat{0}}^{0}$-加群の既約加群に対応する $\widetilde{\mathcal{N}}^{(1)}$ 上の整合的層は何か？
• RQ2 $\Upsilon$-同値の下で、これらの既約加群の射影的被覆はどのように整合的層として実現されるか？
• RQ3 $L((p-2)\rho)$ の幾何的実現は何か？ また、twisted 構造層間の非自明な準同型のコーンとしてどのようにして生じるか？
• RQ4 sheaf-theoretic 手法を用いて、射影的被覆と既約加群の間の Ext 群を明示的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ5 $H^1(\mathcal{T}_{\mathcal{B}}(-\rho))$ は、自明加群の射影的被覆を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $L(0) = \Bbbk$ は $i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}$ に対応し、$j=1,2$ に対して $L((p-3)\omega_j)$ は $i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-\omega_j)[2]$ に対応する。これは $R\Gamma(\mathcal{B}, \mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-p\omega_j))$ を用いて計算される。
• $L((p-2)\omega_1 + \omega_2)$ は $i_*\pi_1^*\Omega^1_{\mathbb{P}^2}(1)[1]$ に対応し、$\mathbb{P}^2$ 上の完全系列のコシュール分解のコホモロジーから生じる。
• $L((p-2)\rho)$ は、唯一の非自明な準同型 $i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}} \to i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-\rho)[3]$ のコーンとして実現され、$\dim \mathrm{Ext}^3(i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}, i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-\rho)) = 1$ である。
• $L(0)$ の射影的被覆は $\mathcal{P} = \mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\rho)$ であり、$\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}$ と $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\rho)$ 間の非自明な拡張である。これは $H^1(\mathcal{T}_{\mathcal{B}}(-\rho)) \cong \Bbbk$ から生じる。
• $L((p-2)\omega_1 + \omega_2)$ の射影的被覆は $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\omega_1)$ であり、$L(\omega_1 + (p-2)\omega_2)$ の射影的被覆は $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\omega_2)$ であり、$\widetilde{\mathcal{N}}$ 上のラインバンドルとして実現される。
• $L((p-3)\omega_1)$ と $L((p-3)\omega_2)$ の射影的被覆は、それぞれ $p^*((\pi_2^*\Omega^1_{\mathbb{P}^2})(\omega_1 + 2\omega_2))$ と $p^*((\pi_1^*\Omega^1_{\mathbb{P}^2})(2\omega_1 + \omega_2))$ として、$\widetilde{\mathcal{N}} \to \mathcal{B}$ の射影 $p$ を通じて $\mathcal{B}$ 上の層を引き戻したものとして得られる。