[論文レビュー] Algebraic Torsion in Higher-Dimensional Contact Manifolds

Agustín Moreno|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、すべての奇数次元 ≥5 において、有限で非ゼロの代数的ねじれを有する高次元接触多様体の最初の既知の例を構成し、それらがタイトであり、強いシンプレクティック充填をもたないことを証明する。Girouxねじれが任意の奇数次元で代数的1-ねじれを意味することを確立し、[MNW13]における予想を解決する。さらに、Girouxねじれをもたないが、非可縮可能な5次元多様体を無限個の微分同相でないものとして構成する。穿孔された擬複素曲線の新しい交線論は、3次元の結果を高次元に一般化し、codimension-2の擬複素foliationを用いて曲線の挙動を制御可能にする。

ABSTRACT

Wir konstruieren Beispiele von Kontaktmannigfaltigkeiten in jeder ungeraden Dimension, welche endliche nicht-triviale algebraische Torsion (im Sinne von Latschev-Wendl) aufweisen, somit straff sind und keine starke symplektische Füllung haben. Wir beweisen, dass Giroux Torsion algebraische 1-Torsion in jeder ungeraden Dimension impliziert, womit eine Vermutung von Massot-Niederkrüger-Wendl bewiesen wird. Wir konstruieren unendlich viele nicht diffeomorphe Beispiele von 5-dimensionalen Kontaktmannigfaltigkeiten, welche straff sind, keine starke symplektische Füllung zulassen und keine Giroux Torsion haben. Wir erhalten Obstruktionen für symplektische Kobordismen, ohne für deren Beweis die SFT Maschinerie zu verwenden. Wir geben eine provisorische Definition eines spinalen offenen Buchs in höherer Dimension an, basierend auf der vom 3-dimensionalen Fall aus Lisi-van Horn Morris-Wendl. In einem Anhang geben wir in gemeinsamer Autorenschaft mit Richard Siefring eine wesentliche Zusammenfassung der Schnitttheorie für punktierte holomorphe Kurven und Hyperflächen an, welche die 3-dimensionalen Resultate von Siefring auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Mittels der Schnitttheorie erhalten wir eine Anwendung für holomorphe Blätterungen von Kodimension zwei, die wir benutzen um das Verhalten von holomorphem Kurven in unseren Beispielen einzuschränken.

研究の動機と目的

• すべての奇数次元において、有限で非ゼロの代数的ねじれを有する接触多様体を構成し、それらがタイトであり、強シンプレクティック充填をもたないことを証明すること。
• Girouxねじれが任意の奇数次元で代数的1-ねじれを意味することを証明し、[MNW13]における予想を解決すること。
• 無限個の微分同相でない5次元接触多様体を、タイトで、強シンプレクティック充填をもたず、Girouxねじれをもたないものとして構成すること。
• 穿孔された擬複素曲線および超曲面の交線論の高次元一般化を確立し、[Sie11]の結果を拡張すること。
• SFTの道具に依存しないシンプレクティックコーボリズムの障害結果の証明を提供し、一時的な高次元スパインオープンブック分解を定義すること。

提案手法

• シリンダ型Liouville半充填を用いてモデルAを構成し、有限代数的ねじれを有する接触構造へ変形すること。
• 有限エネルギーfoliationとインデックス計算を用いて、シンプレクティゼーション内での擬複素曲線の挙動を制御すること。
• Morse–BottデータからMorseデータへの変換のための摂動スキームを適用し、擬複素曲線のFredholm正則性を保証すること。
• 漸近的法線挙動とConley–Zehnderインデックスに基づき、穿孔された擬複素曲線および超曲面の高次元交線論を導入すること。
• 交線論を用いて、特にモデルBおよび5次元例において、擬複素曲線をcodimension-2の擬複素foliationの葉に制限すること。
• 3次元のモデル [L-VHM-W] に基づき、高次元スパインオープンブック分解を定義し、摂動および正則性技術を用いて障害結果を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限で非ゼロの代数的ねじれを有する高次元接触多様体で、タイトであり、非可縮可能なものが存在するか？
• RQ2 [MNW13]で予想されたように、Girouxねじれは任意の奇数次元で代数的1-ねじれを意味するか？
• RQ3 無限個の微分同相でない5次元接触多様体を、タイトで、非可縮可能であり、Girouxねじれをもたないものとして構成可能か？
• RQ4 代数的ねじれを有する高次元接触多様体における擬複素曲線の挙動は何か？ そして、foliation理論を用いて制御可能か？
• RQ5 SFTの装置に依存せずに、シンプレクティックコーボリズムの障害結果を証明可能か？

主な発見

• 本稿は、すべての奇数次元 ≥5 に対して、有限で非ゼロの代数的ねじれを有する接触多様体を構成し、それらがタイトであり、強いシンプレクティック充填をもたないことを示す。
• Girouxねじれが任意の奇数次元で代数的1-ねじれを意味することを証明し、[MNW13]における予想を確認する。
• 無限個の微分同相でない5次元接触多様体を、タイトであり、強いシンプレクティック充填をもたず、Girouxねじれをもたないものとして構成する。
• 穿孔された擬複素曲線および超曲面のための新しい交線論が開発され、[Sie11]を高次元に一般化し、codimension-2の擬複素foliationを用いて曲線の挙動を制御可能にする。
• ある種の法線Conley–Zehnderインデックスの境界の下では、射影写像の次数がゼロであれば、擬複素曲線はfoliationの葉に完全に含まれることを示す。
• SFTの道具に依存しないシンプレクティックコーボリズムの障害結果の証明を提供し、摂動、正則性、および新しい交線論に依存する。