[論文レビュー] Algebraic vector bundles on the 2-sphere and smooth rational varieties with infinitely many real forms

Adrien Dubouloz, Gene Freudenburg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元球面上の位相的ベクトルバンドルを代数化することで、無限に多くの対ごとに非同型な実形式をもつ滑らかな有理的実アフィン4次元多様体を構成する。複素化されたランク2のベクトルバンドルの代数的モデルを用いて、$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}$ が可算無限個の実形式をもつことを証明し、有理的多様体が無限個の実形式をもつ分類における空白を埋める。

ABSTRACT

We construct smooth rational real algebraic varieties of every dimension $\\ge$ 4 which admit infinitely many pairwise non-isomorphic real forms.

研究の動機と目的

• 滑らかな有理的実代数的多様体が、対ごとに非同型な無限個の実形式をもてるかどうかという未解決問題に取り組む。
• 非有理的多様体に関する先行結果が残した空白を埋めるために、次元≥4のそのような多様体の明示的例を構成する。
• $\mathbb{S}^2$ と $\mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}$ がそれぞれ有限個の実形式しか持たないにもかかわらず、$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}$ が無限個の実形式をもつことを示す。
• 対数一般型の多様体を用いて、次元を高次元に拡張し、無限個の実形式をもつ性質を保つ。

提案手法

• 実2次元球面 $\mathbb{S}^2$ 上にランク2の代数的ベクトルバンドル $p_n: V_n \to \mathbb{S}^2$ を、$\mathcal{O}_{\mathbb{CP}^1}(n)$ で分類される位相的実ベクトルバンドルをモデルとして構成する。
• 複素化 $V_{n,\mathbb{C}}$ がすべて自明なバンドル $\mathbb{S}_{\mathbb{C}}^2 \times \mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$ に同型であることを示し、全空間の複素同型を保証する。
• $\mathbb{S}^2$ 上では局所同型であるが、実代数的多様体としての $V_n$ が互いに非同型であることを用いて、$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}$ の異なる実形式を生成する。
• Iitaka-Fujitaの強いキャンセレーション定理を適用し、$V_n \times X$ と $V_m \times X$ の同型が $X$ 上のファイバー写像でなければならないことを示し、$X_{\mathbb{C}}$ の自己同型群が自明であれば $n = m$ が要求されることを導く。
• 滑らかな有理的実アフィン多様体 $X$ と、対数一般型かつ $\mathrm{Aut}(X_{\mathbb{C}})$ が自明なものを用いて、この構成を拡張し、実形式の無限個の相異なる性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな有理的実代数的多様体は、対ごとに非同型な無限個の実形式をもてるか？
• RQ2 実2次元球面 $S^2$ 上の位相的ベクトルバンドルの代数的モデルから、$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}$ の実形式が生じるか？
• RQ3 対数一般型多様体を用いて、4次元を超えて無限個の実形式の構成を拡張できるか？
• RQ4 複素化の自己同型群は、積の実形式を区別する上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 対数一般型の有理的多様体との積において、無限個の実形式をもつ性質は保存されるか？

主な発見

• 滑らかな有理的実アフィン4次元多様体 $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}$ は、少なくとも可算無限個の対ごとに非同型な実形式をもつ。
• 実形式は、$\mathbb{S}^2$ 上のランク2の代数的ベクトルバンドル $V_n$ の全空間として実現され、すべての $n \geq 0$ に対して $V_{n,\mathbb{C}} \cong \mathbb{S}_{\mathbb{C}}^2 \times \mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$ が成り立つ。
• $\mathbb{S}^2$ 上では局所同型であるが、実代数的多様体としての $V_n$ は、それらの基礎となる実ベクトルバンドルの非自明な位相的分類のおかげで、互いに非同型である。
• 任意の $d \geq 4$ に対して、次元 $d$ の滑らかな有理的実アフィン多様体で、少なくとも可算無限個の対ごとに非同型な実形式をもつものが存在する。
• 対数一般型かつ $X_{\mathbb{C}}$ の自己同型群が自明な滑らかな有理的実アフィン多様体 $X$ を用いて、$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{A}^2_{\mathbb{R}} \times X$ にこの構成を拡張でき、無限個の実形式が得られる。
• $V_n$ に対応する $\mathbb{S}_{\mathbb{C}}^2 \times \mathbb{A}_{\mathbb{C}}^2$ の実構造は、$n \neq m$ のとき $V_m$ のそれと同値でないため、実形式が非同型であることが確認される。