[論文レビュー] Solvable fundamental groups of algebraic varieties and Kähler manifolds

Donu Arapura, Madhav V. Nori|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、正規の複素代数的多様体、またはコンパクト・カーラー多様体のザリスキ開部分集合の基本群が、ℚ 上の行列の可解群（または多可解群）であるならば、その群は必ず virtually nilpotent であることを証明する。著者たちは、このような群を代数群に完成させ、ガロア理論的およびホモロジー論的技法を用いて、その単位成分がユニポテンツであることを示すことで、この結果を得る。これにより、これらの空間の基本群として現れる可能性のある可解群の広いクラスが除外される。

ABSTRACT

This is a long overdue write up of the following: If the fundamental group of a normal complex algebraic variety (respectively Zariski open subset of a compact Kähler manifold) is a solvable group of matrices over Q (respectively polycyclic group), then it is virtually nilpotent. This should be interpreted as saying that a large class of solvable groups will not occur as fundamental groups of such spaces. The essential strategy is to first "complete" these groups to algebraic groups (generalizing constructions of Malcev and Mostow), and then check that the identity component is unipotent. This is done by Galois theoretic methods in the algebraic case, and is reduced to homological properties of one dimensional characters in the analytic case.

研究の動機と目的

• 正規の複素代数的多様体や、コンパクト・カーラー多様体のザリスキ開部分集合の基本群として現れる可能性のある可解群を特定すること。
• ℚ 上の行列群として実現可能であるか、または多可解群であるような特定の可解群が、これらの幾何的対象の基本群として現れるかどうかという、長年の未解決問題に取り組むこと。
• このような可解群が必ず virtually nilpotent であることを確立することで、この幾何的文脈における基本群の可能性を制限すること。
• マルツェフおよびモストウの群完成化技法を、代数的および解析的基礎群の文脈に一般化すること。
• ガロア理論的およびホモロジー論的技法を用いて、完成化群の単位成分のユニポテンツ性を証明すること。

提案手法

• マルツェフおよびモストウの構成の一般化を用いて、与えられた可解基礎群を代数群に完成化する。
• 代数的状況では、完成化群の構造を分析するためにガロア理論的技法を適用する。
• 解析的状況では、問題を1次元的特徴のホモロジー的性質の研究に還元する。
• 完成化群の単位成分がユニポテンツであることを示し、これにより元の群が virtually nilpotent であることが従う。
• 完成化群の単位成分のユニポテンツ性を用いて、基礎群が virtually nilpotent であることを導出する。
• ユニポテンツ群が可解であり、かつ可解群の有限拡大が再び virtually nilpotent であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ 上の行列群として埋め込める可解群は、正規の複素代数的多様体の基本群として現れる可能性があるか？
• RQ2 多可解群は、コンパクト・カーラー多様体のザリスキ開部分集合の基本群として現れるのか？
• RQ3 代数的多様体およびカーラー多様体の文脈において、可解基礎群がどのような条件下で virtually nilpotent になるか？
• RQ4 群完成化技法を代数的および解析的基礎群に拡張することで、その可解構造を研究するにはどうすればよいか？
• RQ5 ガロア理論的およびホモロジー論的技法が、完成化群の単位成分のユニポテンツ性を証明する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 正規の複素代数的多様体の可解基礎群が、ℚ 上の行列群として埋め込めるならば、その群は必ず virtually nilpotent である。
• コンパクト・カーラー多様体のザリスキ開部分集合に関しては、基礎群が多可解群であれば、その群は virtually nilpotent である。
• このような可解群を代数群に完成化すると、その単位成分がユニポテンツである。
• 完成化群の単位成分がユニポテンツであることは、元の群が virtually nilpotent であることを示唆する。
• 証明は、代数的状況ではガロア理論的技法に依拠し、解析的状況では1次元的特徴のホモロジー的分析に依拠する。
• この結果により、これらの幾何的文脈における基本群として現れる可能性のある可解群のクラスに強い制限が課される。