[論文レビュー] Algebraic versus Topologic Anomalies

Víctor Aldaya Valverde, Julio Guerrero García+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1995

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子化の文脈において代数的および位相的異常を区別し、古典的ニュートン方程式の対称性が局所的（代数的）または大域的（位相的）な障害によって、量子理論に一貫して写し出されないことを示している。各クラスの明示的例を提示し、群論的枠組み内でのこうした異常発生の数学的起源を明確にしている。

ABSTRACT

Within the frame of a Group Approach to Quantization anomalies arise in a quite natural way. We present in this talk an analysis of the basic obstructions that can be found when we try to translate symmetries of the Newton equations to the Quantum Theory. They fall into two classes: algebraic and topologic according to the local or global character of the obstruction. We present here one explicit example of each.

研究の動機と目的

• その局所的または大域的性質に基づいて、量子化における異常を代数的および位相的タイプに分類すること。
• 特にニュートン方程式の対称性の、量子理論への持ち上げが妨げられる障害を調査すること。
• 対称性の保存が量子化過程で失敗する原因を分析するための体系的枠組みを、群論を用いて構築すること。
• 代数的および位相的障害が量子化過程にどのように現れるかを明示的例で示すこと。

提案手法

• 古典的および量子系における対称性の構造を分析するため、群論的アプローチを用いる。
• 対称性の持ち上げにおける障害の局所的（代数的）または大域的（位相的）性質に基づき、それらを区別する。
• 明示的構成を用いて、量子化における代数的および位相的異常をモデル化する。
• 異常を裏付けるコhomology構造および群拡張構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニュートン系における古典的対称性の一貫した量子化を妨げる障害の種類は何か？
• RQ2 代数的異常と位相的異常は、数学的起源および物理的現れ方においてどのように異なるか？
• RQ3 群論は、こうした異常を分類し理解するために果たす役割は何か？
• RQ4 代数的および位相的異常タイプをそれぞれ説明する明示的例を構築できるか？

主な発見

• 代数的異常は、リー代数の構造に関連する、古典的対称性を量子演算子へ持ち上げる際の局所的障害から生じる。
• 位相的異常は、対称性群の大域的性質、特に群拡張問題における非自明なコhomology類に起因する。
• 本稿では、古典的対称性の一致する量子実現が定義できないことの明示的例を1つ構築している。
• また、対称性群多様体の位相に起因する障害を示す、位相的異常の明示的例も提示している。
• 群論的枠組みは、障害の局所的または大域的性質に基づき、異常を的確に区別・分類できた。
• 分析により、両タイプの異常は量子化過程に内在的であり、従来の手法では除去できないことが明らかになった。