[論文レビュー] Algebraicity and Asymptotics: An explosion of BPS indices from algebraic generating series

Tom Mainiero|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 56被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元ベクトル (3n,2n) を持つ 3-クラインカー代数的クウェイバーのドナルドソン＝トーマス不変量の代数的方程式を確立し、その生成関数が ℚ(x) 上代数的であることを証明する。Reineke の関数方程式を用いて、安定クウェイバーモジュライのオイラー標跡の代数的方程式をさらに導出する。主な結果は、代数的性が BPS 指標の指数的成長を示すことである—有限個または指数的に多く—これにより代数的曲線解析を用いて明示的な漸近的抽出が可能になる。

ABSTRACT

It is an observation of Kontsevich and Soibelman that generating series that produce certain (generalized) Donaldson Thomas invariants are secretly algebraic functions over the rationals. From a physical perspective this observation arises naturally for DT invariants that appear as BPS indices in theories of class S[A]: explicit algebraic equations (that completely determine these series) can be derived using (degenerate) spectral networks. In this paper, we conjecture an algebraic equation associated to DT invariants for the Kronecker 3-quiver with dimension vectors (3n,2n), n>0 in the non-trivial region of its stability parameter space. Using a functional equation due to Reineke, we show algebraicity of generating series for Euler characteristics of stable moduli for the Kronecker m-quiver assuming algebraicity of generating series for DT invariants. In the latter part of the paper we deduce very explicit results on the asymptotics of DT invariants/Euler characteristics under the assumption of algebraicity of their generating series; explicit large n asymptotics are deduced for dimension vectors (3n,2n) for the Kronecker 3-quiver. The algebraic equation is derived using spectral network techniques developed by Gaiotto-Moore-Neitzke, but the main results can be understood without knowledge of spectral networks.

研究の動機と目的

• 次元ベクトル (3n, 2n) を持つ 3-クラインカークウェイバーのドナルドソン＝トーマス不変量の生成関数に対する明示的な代数的方程式を予想し、導出すること。
• Reineke の関数方程式を用いて、安定クウェイバーモジュライのオイラー標跡の生成関数の代数的性を確立すること。
• 生成関数の代数的性が BPS 指標の指数的成長を示すこと、および明確な漸近式を示すこと。
• 代数的方程式から BPS 指標の漸近的性質を抽出するための構成的技法を提供すること。
• クラス S[A] 理論におけるスペクトルネットワーク技法が、生成関数に対する明示的な代数的関係を導出できることを示すこと。

提案手法

• スペクトルネットワーク技法を用いて、非自明な安定性領域における 3-クラインカークウェイバーの DT 不変量の生成関数に対する代数的方程式を導出する。
• Reineke の関数方程式を適用し、DT 不変量と安定クウェイバー・モジュライのオイラー標跡を関連づけ、後者の生成関数の代数的性を証明する。
• 生成関数の代数的構造を用いて、代数関数の特異点解析を用いて漸近式を導出する。
• DT 不変量とオイラー標跡の生成関数を関連付ける関数方程式を用い、不変量の代数的性がモジュライのオイラー標跡に伝播することを可能にする。
• 数値的および解析的用途を想定し、Mathematica 形式で記述された明示的な多項式（例：PolyV, PolyT, PolyE）を構築する。
• 代数幾何学および特異点論の結果を応用し、代数的方程式から漸近的成長率を抽出し、有理関数で根が単位根である場合を除き指数的成長が一般的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元ベクトル (3n, 2n) を持つ 3-クラインカークウェイバーの DT 不変量の生成関数を支配する代数的方程式は何か？
• RQ2 DT 不変量の生成関数の代数的性が BPS 指標の指数的成長をどのように示すか？
• RQ3 Reineke の関数方程式を用いて、安定クウェイバー・モジュライのオイラー標跡の代数的方程式を導出できるか？
• RQ4 代数的生成関数から BPS 指標の明示的漸近式をどのように抽出できるか？
• RQ5 クラス S[A] 理論におけるスペクトルネットワーク技法が、生成関数に対して明示的な代数的関係をどのように導出するか？

主な発見

• 次元ベクトル (3n, 2n) を持つ 3-クラインカークウェイバーの DT 不変量の生成関数に対する明示的な代数的方程式が、非自明な安定性領域で導出された。
• DT 不変量の代数的性を仮定することで、m-クラインカークウェイバーの安定モジュライのオイラー標跡の生成関数が、Reineke の関数方程式を用いて代数的であることが証明された。
• 本稿は、生成関数の代数的性が BPS 指標が電荷とともに有限個または指数的に増加することを示すことを確立した。指数的成長は一般的である。
• 代数的生成関数の特異点の位置と性質に基づき、BPS 指標およびオイラー標跡の成長に対する明示的な漸近式が導出された。
• 次元ベクトル (3n, 2n) を持つ 3-クラインカークウェイバーに対して、漸近的成長が指数的であることが示され、その正確な割合は代数的方程式から抽出可能である。
• 本稿は、生成関数を定義する明示的な多項式（例：PolyV, PolyT, PolyE）を Mathematica 形式で提供し、数値計算および解析に利用可能である。