[論文レビュー] Donaldson-Thomas invariants via microlocal geometry

Kai Behrend|ArXiv.org|Jul 26, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 127

ひとこと要約

本稿では、対称的障害理論に依存せず、スキーム構造のみに依存する基本的可 constructible 関数 $\nu_X$ を用いて、Donaldson-Thomas 型不変量がモジュライ空間の重み付きオイラー標跡に等しいことを確立する。主な貢献は、余接 bundle 内のラグラジアンサイクルのリンク数として $\nu_X(P)$ を微小局所的に表現する公式であり、仮想的数え上げと特異性不変量を統合し、非相対的モジュライ空間に対しても不変量を定義可能にする。

ABSTRACT

We prove that Donaldson-Thomas type invariants are equal to weighted Euler characteristics of their moduli spaces. In particular, such invariants depend only on the scheme structure of the moduli space, not the symmetric obstruction theory used to define them. We also introduce new invariants generalizing Donaldson-Thomas type invariants to moduli problems with open moduli space. These are useful for computing Donaldson-Thomas type invariants over stratifications.

研究の動機と目的

• モジュライ空間のスキーム構造にのみ依存する、Donaldson-Thomas 型不変量が対称的障害理論の選択に依存しないことを示すこと。
• 重み付きオイラー標跡 $\chi(X, \nu_X)$ を用いて、非相対的モジュライ空間に対しても Donaldson-Thomas 型不変量の一般化を定義すること。
• 点 $P$ における寄与 $\nu_X(P)$ を余接 bundle 内のラグラジアンサイクルのリンク数として、微小局所幾何的公式で表現すること。
• 消失サイクルを介して $\nu_X$ とミルナー fibre のオイラー標跡との関係を確立すること。
• $\tilde{\mu}(X) = \int_X \nu_X d\mu$ を用いて、モチーフ的一般化を提示すること。

提案手法

• 可 constructible 関数 $\nu_X: X \to \mathbb{Z}$ を、内在的正規コーン $\mathfrak{c}_X$ のオイラー障害として定義し、これは自然かつスキーム論的である。
• 微小局所幾何を用いて、$\nu_X(P)$ を $\epsilon$ と $\eta$ が十分小さいときのリンク数 $L_{S_\epsilon}(\Gamma_\eta \cap S_\epsilon, \Delta \cap S_\epsilon)$ として解釈する。
• モジュライ空間 $X$ を滑らかな周囲スキーム $M$ に埋め込み、$X = Z(\omega)$ を定義する 1-形式 $\omega$ を $\Omega_M$ 内の切断に引き上げる。
• $\Gamma_\eta \subset \Omega_M$ を $M \to \Omega_M$ における $\frac{1}{\eta}\omega$ の像として、$\Delta$ を距離関数 $\rho$ の微分 $d\rho$ の像として構成する。
• 交差理論と特化を適用して、$\nu_X(P) = I_{\{P\}}([C], [\Delta])$ を示し、ここで $[C]$ は $X$ の $M$ における正規コーンである。
• $\lim_{\eta \to 0} [\Gamma_\eta] = [C]$ を用いて、リンク数公式における $[C]$ を $\Gamma_\eta$ に置き換える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Donaldson-Thomas 不変量はモジュライ空間のスキーム構造にのみ依存するのか、それとも対称的障害理論の選択に依存するのか？
• RQ2 非相対的モジュライ空間に対しても Donaldson-Thomas 型不変量を一般化できるか？
• RQ3 点 $P$ における寄与 $\nu_X(P)$ を幾何的・微小局所的公式で表現できるか？
• RQ4 $\nu_X$ は古典的不変量（ミルナー数やミルナー fibre のオイラー標跡）とどのように関係するか？
• RQ5 スキーム構造と $\nu_X$ を尊重するように、仮想的数え上げを一般化するモチーフ的不変量を定義できるか？

主な発見

• Donaldson-Thomas 型不変量 $\#^{\rm vir}(X)$ は重み付きオイラー標跡 $\chi(X, \nu_X)$ に等しく、対称的障害理論の選択に依存しないことを示した。
• $P \in X$ が滑らかであれば $\nu_X(P) = (-1)^{\dim X}$ であり、これはオイラー標跡の公式を一般化する。
• $X = Z(df)$ が関数 $f$ の臨界点集合であるとき、$\nu_X(P) = (-1)^{\dim M}(1 - \chi(F_P))$ であり、$F_P$ はミルナー fibre である。
• $\nu_X(P)$ は微小局所的にリンク数 $L_{S_\epsilon}(\Gamma_\eta \cap S_\epsilon, \Delta \cap S_\epsilon)$ として計算され、幾何的解釈が得られる。
• $\Omega_M$ 内の正規コーン $C_{X/M}$ はラグラジアンであり、$\Delta$ との交差が $\nu_X(P)$ の正しいリンク数を与える。
• $\tilde{\mu}(X) = \int_X \nu_X d\mu$ によるモチーフ的一般化は、通常のモチーフ $\mu(X)$ よりもスキーム構造をより深く反映するが、$\chi(GL_n) = 0$ のため、スタックでは制限を受ける。