[論文レビュー] Algebras of Fractions and Strict Positivstellensätze for *-Algebras

Konrad Schmuedgen|ArXiv.org|Mar 16, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数代数と $*$-代数のヒルベルト空間表現を用いて、非可換な厳密な Positivstellensatz の一般枠組みを構築する。$*$-代数における正の元が自己随伴平方の和として表現可能な抽象的条件を確立し、ウェイラー代数およびアフィンリー代数の包あらわし代数にその手法を適用することで、解消条件と多重次数の道具を用いた新たな可積分性基準および正値性定理が得られる。

ABSTRACT

In this paper we investigate a *-algebra $\cX$ of fractions associated with a unital complex *-algebra $\cA$. The algebra $\cX$ and its Hilbert space representations are used to prove abstract noncommutative strict Positivstellensätze for $\cA$. Multi-grading of $\cA$ are studied as technical tools to verify the assumptions of this theorem. As applications we obtain new strict Positivstellensätze for the Weyl algebra and for the Lie algebra $\cg$ of the affine group of the real line. We characterize integrable representations of the Lie algebra $\cg$ in terms of resolvents of the generators and derive a new integrability criterion for representations of $\cg$.

研究の動機と目的

• 分数代数と表現を用いて、$*$-代数における非可換な厳密な Positivstellensatz を証明する一般的手法を開発すること。
• 解消条件と分数代数を用いて、アフィン群のリー代数 $\mathfrak{g}$ の可積分表現を特徴付けること。
• 抽象的基準と多重次数技法を用いて、ウェイラー代数および $\mathfrak{g}$-包あらわし代数に対する新たな正値性定理を確立すること。
• 標準的交換関係に対するカトーの定理に類似した、$\mathfrak{g}$ の表現の新たな可積分性基準を提示すること。

提案手法

• 単位的 $*$-代数 $\mathcal{A}$ から、$*$-不変な左オア集合 $\mathcal{S}_O$ と可算な部分モノイド $\mathcal{S}$ を用いて、$*$-代数の分数 $\mathfrak{X}$ を構成する。
• $\mathfrak{X}$ の有界 $*$-表現 $\rho$ で $s^{-1}$ に対して自明な核を持つものを用い、$\mathcal{A}$ の非有界 $*$-表現 $\pi_\rho$ を誘導する。
• 代数的有界性と内自己同型 $\alpha_s(\cdot) = s\cdot s^{-1}$ による $\mathfrak{X}$ の不変性を要請する抽象的厳密 Positivstellensatz (定理3) を適用する。
• $\mathcal{A}$ の多重次数を用いて、定理3の仮定を検証し、特にウェイラー代数および $\mathfrak{g}$-包あらわし代数のケースで有効であることを示す。
• すべての既約表現 $\rho$ および $s \in \mathcal{S}_G$ に対して $\pi_\rho(c) > 0$ かつ $\rho_s(t^{-1}c(t^*)^{-1}) > 0$ であれば、$scs^* \in \sum \mathcal{A}^2$ が成り立つことを証明する。
• この枠組みを、分母集合が $p \pm \alpha i, q \pm \beta i$ で生成されるウェイラー代数および $\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ に適用し、$\mathcal{S}_G = \{i\sf a \pm (\alpha + n)i, i\sf b \pm \beta i\}$、$\alpha < -1$、$\beta \neq 0$、$\alpha \notin \mathbb{Z}$ とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $*$-代数 $\mathcal{A}$ の正の元 $c$ が、有限個の自己随伴平方の和として書ける条件は何か？
• RQ2 分数代数 $\mathfrak{X}$ は、$\mathfrak{X}$ の有界表現から $\mathcal{A}$ の非有界 $*$-表現をどのように構成するか？
• RQ3 多重次数は、抽象的厳密 Positivstellensatz の仮定を検証する上で果たす役割は何か？
• RQ4 解消条件および商代数 $\mathfrak{X}_s$ における関連作用素の正値性は、$scs^*$ が平方の和であることを保証する仕組みは何か？
• RQ5 分数代数と正値性を用いて、アフィン群のリー代数 $\mathfrak{g}$ の表現に対する新たな可積分性基準はどのように導出可能か？

主な発見

• ウェイラー代数 $\mathcal{W}(1)$ に対して、$c = c^*$ が自己随伴元であり、すべての既約表現 $\rho$ および $s \in \mathcal{S}_G = \{p \pm \alpha i, q \pm \beta i\}$ に対して $\pi_\rho(c) > 0$ かつ $\rho_s(t^{-1}c(t^*)^{-1}) > 0$ であれば、ある $s \in \mathcal{S}_O$ に対して $scs^* \in \sum \mathcal{W}(1)^2$ が成り立つ。
• アフィンリー代数 $\mathfrak{g}$ の包あらわし代数 $\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ に対して、$c = c^*$ が多重次数 $(2m_1, 2m_2)$ を持ち、すべての既約ユニタリ表現 $U$ に対して $dU(c) \geq T_U > 0$ であり、$f_{2m_2}(\cdot + m_2 i)$ および $g_{2m_1}$ が $\mathbb{R}$ 上で正であるならば、ある $s \in \mathcal{S}$ に対して $s^*cs \in \sum \mathcal{E}(\mathfrak{g})^2$ が成り立つ。
• 本稿では、$\mathfrak{g}$ の表現に対する新たな可積分性基準を確立した：表現が可積分であるための必要十分条件は、分数代数 $\mathfrak{X}$ 内で生成子の解消作用素が特定の正値性および有界性条件を満たすことである。
• $\ker \rho(s^{-1}) = \{0\}$ を用いて $\rho$ から $\pi_\rho$ を構成する方法により、$\mathcal{A}$ の良好な振る舞いを示す非有界表現を体系的に生成できる。
• 多重次数の使用により、特にウェイラー代数および $\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ のケースで、定理3の鍵となる仮定の検証が可能となり、次数写像 $d(c) = (d_1, d_2)$ を用いた要素の構造的分析が可能になる。
• 結果として、標準的交換関係に対するカトーの可積分性定理をアフィンリー代数の文脈に一般化し、商代数における関連作用素の正値性に基づく新たな基準を提供した。