[論文レビュー] Algebras of Open Dynamical Systems on the Operad of Wiring Diagrams

Dmitry Vagner, David I. Spivak+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 18被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、オペラッドとワイヤリング図を用いたカテゴリカルな枠組みを導入し、オープン連続時間力学系をモデル化する。一般系および線形系がブラックボックスの対称モノイダル圏上での代数を形成することを示している。主な貢献は、オペラッド的合成を通じて、液体の流れを伴うタンクの連結といったサブシステムの接続を代数的に符号化する形式的枠組みを提供することであり、これにより、構成要素の力学から合成系の力学を体系的に導出可能となる。

ABSTRACT

In this paper, we use the language of operads to study open dynamical systems. More specifically, we study the algebraic nature of assembling complex dynamical systems from an interconnection of simpler ones. The syntactic architecture of such interconnections is encoded using the visual language of wiring diagrams. We define the symmetric monoidal category W, from which we may construct an operad O(W), whose objects are black boxes with input and output ports, and whose morphisms are wiring diagrams, thus prescribing the algebraic rules for interconnection. We then define two W-algebras, G and L, which associate semantic content to the structures in W. Respectively, they correspond to general and to linear systems of differential equations, in which an internal state is controlled by inputs and produces outputs. As an example, we use these algebras to formalize the classical problem of systems of tanks interconnected by pipes, and hence make explicit the algebraic relationships among systems at different levels of granularity.

研究の動機と目的

• オペラッドとワイヤリング図の言語を用いて、オープン力学系を合成する形式的な代数的枠組みを構築すること。
• 複雑な系を、入出力インターフェースを介して接続された単純なサブシステムの階層的集合としてモデル化すること。
• 特に線形および一般微分方程式に基づく系の接続を、対称モノイダル圏内で形式化すること。
• 代表的な例（液体の流れを伴う連結タンク）を通じて、この枠組みの有効性を示すこと。
• 合成系がワイヤリング図のオペラッド上での代数を形成することを確立し、接続に対して閉じていることを保証すること。

提案手法

• 入力・出力ポートを備えたブラックボックスを対象とし、接続を指定するワイヤリング図が射である対称モノイダル圏 $\mathbf{W}$ を定義する。
• ワイヤリング図によるシステム合成の文法的ルールを符号化するため、$\mathbf{W}$ からオペラッド $\mathcal{O}\mathbf{W}$ を構成する。
• 一般の滑らかな力学系を表す $\mathcal{G}$ と線形系を表す $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{G}$ の2つの $\mathbf{W}$-代数を定義し、ワイヤリング図に意味的コンテンツ（微分方程式）を割り当てる。
• 整合性写像 $\mu_{\mathbf{Lin}}$ を用いて、サブシステムを合成系に組み合わせ、オペラッドの代数的構造を保持する。
• 出力ポートから入力ポートへの接続を符号化する、ブロック置換行列（例：$\overline{\varphi}$）を用いて接続を表現する。
• 行列形式を用いて、成分の力学と接続ルールから、合成系の力学を導出する。たとえば $\dot{Q} = A \cdot (Q, \text{inputs})$ のような形で。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、図的で代数的な言語を用いて、オープン力学系を体系的に合成できるか？
• RQ2 流体タンクや電気回路のような複雑な系におけるサブシステムの接続の背後にある圏的構造は何か？
• RQ3 線形および非線形力学系は、ワイヤリング図によるオペラッド的合成においてどのように振る舞うか？
• RQ4 合成系の力学は、その成分の力学と接続パターンのみから純粋に導出可能か？
• RQ5 ワイヤリング図のオペラッドは、異なる種類の力学系における接続の意味論を統一する役割を果たすか？

主な発見

• この枠組みは、オペラッド的合成を用いて、古典的な連結タンク問題を合成されたオープン力学系として成功裏にモデル化した。
• 合成系の力学は $\dot{Q} = A \cdot (Q, \text{inputs})$ として導出され、行列 $A$ は成分の力学と接続ルールから明示的に構成された。
• 接続パターンは、恒等ブロックが直接ポート対ポート接続を示すブロック置換行列 $\overline{\varphi}$ によって符号化されている。
• 合成タンク系の系の力学は、$\begin{bmatrix}\dot{Q}_1 \\ \dot{Q}_2 \\ X_{1a}^{\text{out}} \\ X_{2a}^{\text{out}} \\ X_{2b}^{\text{out}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-.1&0&1&1&0&0\\ 0&-.2&0&0&1&1\\ .1&0&0&0&0&0\\ 0&.125&0&0&0&0\\ 0&.075&0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ X_{1a}^{\text{in}} \\ X_{1b}^{\text{in}} \\ X_{2a}^{\text{in}} \\ X_{2b}^{\text{in}}\end{bmatrix}$ として与えられ、標準モデルと完全に一致している。
• 外側のボックス系は式 (25) を適用して得られ、$\begin{bmatrix}\dot{Q}_1 \\ \dot{Q}_2 \\ Y^{\text{out}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-.1&.075&0&1\\ .1&-.2&1&0\\ 0&1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Y_a^{\text{in}} \\ Y_b^{\text{in}}\end{bmatrix}$ となり、既知の系方程式と一致している。