[論文レビュー] Algebras of quantum monodromy data and decorated character varieties

Leonid Chekhov, Marta Mazzocco+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、リーマン面における不規則特異接続のための量子モノドロミー代数フレームワークを導入し、ストークスデータと形式的モノドロミーを組み込んだ装飾付きキャラクター多様体を構成する。この接続のde Rhamモジュライ空間と装飾付きキャラクター多様体の間には、ポisson同型が存在すると予想されており、genus zero、ランク2、Poincaréランク3の場合に検証されており、Jimbo-Miwa系およびPII方程式と関連している。

ABSTRACT

The Riemann-Hilbert correspondence is an isomorphism between the de Rham moduli space and the Betti moduli space, defined by associating to each Fuchsian system its monodromy representation class. In 1997 Hitchin proved that this map is a symplectomorphism. In this paper, we address the question of what happens to this theory if we extend the de Rham moduli space by allowing connections with higher order poles. In our previous paper arXiv:1511.03851, based on the idea of interpreting higher order poles in the connection as boundary components with bordered cusps (vertices of ideal triangles in the Poincaré metric) on the Riemann surface, we introduced the notion of decorated character variety to generalize the Betti moduli space. This decorated character variety is the quotient of the space of representations of the fundamental groupid of arcs by a product of unipotent Borel sub-groups (one per bordered cusp). Here we prove that this representation space is endowed with a Poisson structure induced by the Fock--Rosly bracket and show that the quotient by unipotent Borel subgroups giving rise to the decorated character variety is a Poisson reduction. We deal with the Poisson bracket and its quantization simultaneously, thus providing a quantisation of the decorated character variety. In the case of dimension 2, we also endow the representation space with explicit Darboux coordinates. We conclude with a conjecture on the extended Riemann-Hilbert correspondence in the case of higher order poles.

研究の動機と目的

• リーマン面における高次の極を持つ不規則特異接続への古典的リーマン＝ヒルベルト対応の拡張。
• 形式的解の成長率を含むストークスデータ、形式的モノドロミーを符号化する量子モノドロミー代数の定義。
• モノドロミー情報に加え、追加の装飾情報（形式的解の成長率）を組み込んだ装飾付きキャラクター多様体の構成。
• リーマン＝ヒルベルト対応が、de Rhamモジュライ空間と装飾付きキャラクター多様体の間でポisson同型を誘導すると予想すること。
• 非自明な場合にその予想を検証すること：genus zero、ランク2、Poincaréランク3の不規則特異点を1つ持つ場合で、PII方程式と関連している。

提案手法

• 形式的解 $Y_p$ 及びその変動を含む留数公式を用いて、不規則特異点を持つ有理型接続の空間にシンプレクティック構造を導入する。
• 接続の $SL_k$-ゲージ下でのモジュライ空間と、形式的解の成長率からなる装飾の空間の積として、装飾付きキャラクター多様体 $\mathcal{Z}_{irr}^{k}(\Sigma_{g,s})$ を定義する。
• Kricheverの構成を用いて、de Rhamモジュライ空間の次元とシンプレクティック形式を計算し、$\mathrm{Tr}(Y^{-1}\delta A \wedge \delta Y)$ を含む留数公式を用いる。
• 等モノドロミー変形条件 $\partial A/\partial t - \partial B/\partial z = [B,A]$ を適用して、de Rham側の空間を2次元部分多様体に制限する。
• Gaiotto-Moore-Neitzkeフレームワークを用い、$n = 2(r_1 + \cdots + r_s)$ を設定することで、装飾付きキャラクター多様体とヒッグスバンドルのモジュライ空間の次元が一致することを保証する。
• Boalch、Gualtieri-Li-Pym、Inaba-Saitoの、野生的キャラクター多様体および一般化されたモノドロミー情報に関する結果を活用し、予想される対応を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝ヒルベルト対応を、高次の極を持つ不規則特異接続に拡張することは可能か？
• RQ2 不規則な場合に、モノドロミー情報、ストークス情報、形式的解の成長率を捉えるのに適切な代数的・幾何的構造は何か？
• RQ3 不規則接続のde Rhamモジュライ空間と、ストークス情報および形式的モノドロミーを含む装飾付きキャラクター多様体との間に、ポisson同型が存在するか？
• RQ4 等モノドロミー変形はde Rham側のモジュライ空間をどのように制限するのか？また、これはBetti側の構造と一致するか？
• RQ5 単一の不規則特異点を持つ場合に、装飾付きキャラクター多様体の次元とシンプレクティック構造は、ヒッグスバンドルのモジュライ空間と一致するか？

主な発見

• Poincaréランク3の不規則特異点を1つ持つランク2接続の空間 $\mathcal{Z}_{irr}^{2}(\Sigma_{0,1})$ は次元9であり、形式的解を含む留数公式から導かれるシンプレクティック形式を備えている。
• 等モノドロミー変形条件 $\partial A/\partial t - \partial B/\partial z = [B,A]$ を課した後、de Rham側は2次元部分多様体 $\tilde{\mathcal{Z}}_{irr}^{2}(\Sigma_{0,1})$ に縮小する。
• genus 0、1つの境界、6つのボーダークスプ、ランク2の装飾付きキャラクター多様体 $\mathcal{M}_{0,1,6}^{2}$ は次元9で、1つのカシミールを有し、de Rham側と次元が一致する。
• Betti側の等モノドロミー部分代数は、ボーダークスプ間の弧に関連する凍結クラスター変数とポisson可換な関数によって定義される。
• 一般化されたモノドロミー情報空間 $\widetilde{\mathcal{R}(0,2,1)}$ の次元は8であり、$\dim \mathcal{M}_{0,1,6}^{2} - 1$ と一致し、1つのカシミールの存在と整合的である。
• リーマン＝ヒルベルト写像 $RH: \mathcal{Z}_{irr}^{k}(\Sigma_{g,s}) \to \mathcal{M}_{g,s,n}^{k}$ がポisson同型であるという予想は、$g=0$、$k=2$、$r=3$ の場合に検証され、Jimbo-Miwa系およびPII方程式と関連している。