[論文レビュー] Algorithmically random points in measure preserving systems, statistical behaviour, complexity and entropy

Stefano Galatolo, Mathieu Hoyrup+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 11被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、計算可能な力学的系と不変測度を備えた測度保存系におけるアルゴリズム的確率的点を調査する。計算可能分割を用いて有効な記号的モデルを構築し、その点が典型的な統計的挙動を示す（Birkhoffの遍歴定理による）、再帰的であることが証明され、軌道の複雑さは系の測度的エントロピーに等しいことが示される。

ABSTRACT

We consider the dynamical behavior of Martin-Lof random points in dynamical systems over metric spaces with a computable dynamics and a computable invariant measure. We use computable partitions to define a sort of effective symbolic model for the dynamics. Trough this construction we prove that such points have typical statistical behavior (the behavior which is typical in the Birkhoff ergodic theorem) and are recurrent. We introduce and compare some notion of complexity for orbits in dynamical systems and we prove that the complexity of the orbits of random points equals the entropy of the system.

研究の動機と目的

• 計算可能測度保存系におけるMartin-Löfランダム点の力学的挙動を分析すること。
• これらのランダム点がBirkhoffの遍歴定理に従って典型的な統計的挙動を示すことを確立すること。
• 力学的系における軌道の複雑さの概念を定義し、それらを比較すること。
• ランダム点の軌道の複雑さが、系の測度的エントロピーに等しいことを証明すること。

提案手法

• 計算可能分割を用いて系の力学的挙動を表現する有効な記号的モデルを構築すること。
• 計算可能不変測度を用いて、系の文脈におけるアルゴリズム的ランダムネスを定義すること。
• Birkhoffの遍歴定理を適用して、ランダム点が典型的な統計的挙動を示すことを示すこと。
• 特にコルモゴロフ複雑度を用いたアルゴリズム的情報理論に基づいて、軌道の複雑さを定義すること。
• 軌道の漸近的複雑さと系の測度的エントロピーの間の対応関係を確立すること。
• 系内の典型的な挙動を通じて、アルゴリズム的ランダム点の再帰性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算可能測度保存系におけるMartin-Löfランダム点は、Birkhoffの遍歴定理が予測するように典型的な統計的挙動を示すか？
• RQ2 計算可能構造を備えた力学的系の文脈において、軌道の複雑さをどのように形式的に定義し、比較できるか？
• RQ3 ランダム点の軌道のアルゴリズム的複雑さと系の測度的エントロピーの間に直接的な関係があるか？
• RQ4 このような系において、アルゴリズム的ランダム点の再帰性を確立できるか？
• RQ5 計算可能分割は、系の力学的挙動に対する有効な記号的モデルの構築をどのように支援するか？

主な発見

• 計算可能測度保存系におけるアルゴリズム的ランダム点は、Birkhoffの遍歴定理によって保証されるように、典型的な統計的挙動を示す。
• これらの点は再帰的であり、初期位置の任意の近傍に戻る回数が無限回に及ぶ。
• 軌道の複雑さは、特にコルモゴロフ複雑度を用いたアルゴリズム的情報理論に基づいて形式的に定義される。
• ランダム点の軌道の漸近的複雑さは、系の測度的エントロピーに等しい。
• 計算可能分割を用いて構築された有効な記号的モデルは、本質的な力学的性質を保持しており、ランダムネスと複雑さの分析を可能にする。
• 本研究の結果は、計算可能力学的系におけるアルゴリズム的ランダムネス、統計的典型性、エントロピーの間の深い関係を確立する。