[論文レビュー] Algorithms on Ideal over Complex Multiplication order

Paul Kirchner|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Gentry-Szydloアルゴリズムを複素乗法（CM）順序およびより一般的な代数的構造へ拡張し、イデアルの等価性判定、生成子の同定、ノルム方程式、主イデアルの簡約について多項式時間で解けるようにする。主な貢献は、極性付きイデアルの生成子を回復し、近似係数 $ n^{O(\log \log n)} $ で有界距離デコーディングを解く、決定的多項式時間アルゴリズムを確立することであり、従来の円分順序に関する結果を顕著に一般化している。

ABSTRACT

We show in this paper that the Gentry-Szydlo algorithm for cyclotomic orders, previously revisited by Lenstra-Silverberg, can be extended to complex-multiplication (CM) orders, and even to a more general structure. This algorithm allows to test equality over the polarized ideal class group, and finds a generator of the polarized ideal in polynomial time. Also, the algorithm allows to solve the norm equation over CM orders and the recent reduction of principal ideals to the real suborder can also be performed in polynomial time. Furthermore, we can also compute in polynomial time a unit of an order of any number field given a (not very precise) approximation of it. Our description of the Gentry-Szydlo algorithm is different from the original and Lenstra- Silverberg's variant and we hope the simplifications made will allow a deeper understanding. Finally, we show that the well-known speed-up for enumeration and sieve algorithms for ideal lattices over power of two cyclotomics can be generalized to any number field with many roots of unity.

研究の動機と目的

• 円分順序から複素乗法（CM）順序およびより広範な代数的構造へ、Gentry-Szydloアルゴリズムを一般化すること。
• CM順序において、極性付きイデアル類群における等価性判定を多項式時間で可能とし、そのようなイデアルの生成子を回復できること。
• 代数的技法を用いて、CM順序上でのノルム方程式を多項式時間で解けるようにすること。
• Gentry-Szydloフレームワークの新規な応用により、任意の数体における単数を粗い近似から多項式時間で回復できること。
• 任意の数体に多数の単位根が存在する場合に、イデアル格子における最短ベクトルおよびスィーブ法の高速化を一般化すること。

提案手法

• CM順序に適応したGentry-Szydloアルゴリズムを、分割可能なCM順序構造と $ x \mapsto x\overline{x} $ を用いたノルムに基づく還元により実現。
• イデアル生成子のノルムに対するLLLベースの格子還元を用い、ノイズのある近似値に対しても $ v $ を $ v\overline{v} $ から回復。
• 数体上での分布 $ \mathcal{D} $ からのサンプリングを用い、平均ノルム推定とチェビシェフの集中不等式により $ v\mu(\mathcal{O}) $ を回復。
• truncateされたイデアルにババイの最近接平面法を適用し、$ p-1 \mid e $ を満たす小さな素イデアルを用いて $ v^e $ をデコードし、$ v $ を回復。
• 単数格子と複素対数埋め込みの構造を活用し、近似誤差を $ n^{-O(\log \log n)} $ に制限。
• 実部分順序への還元により格子次元を半分に削減し、最短ベクトル探索を高速化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gentry-Szydloアルゴリズムは、円分順序を超えてCM順序およびより一般的な代数的構造へ拡張可能か？
• RQ2 CM順序において、極性付きイデアル類群における等価性判定は多項式時間で決定可能か？
• RQ3 代数的技法を用いて、CM順序上でのノルム方程式を効率的に解けるか？
• RQ4 任意の数体において、粗い近似から多項式時間で単数を回復できるか？
• RQ5 多くの単位根を持つ任意の数体に対して、最短ベクトルの高速化がイデアル格子アルゴリズム（例：最短ベクトル問題）に一般化可能か？

主な発見

• 本論文は、GRHのもとまたは確率的条件下で、極性付きイデアル類群における等価性判定が多項式時間で可能であり、$ r = v\overline{v} $ を満たす任意のイデアル $ (I, r) $ に対して生成子 $ v $ を回復可能であることを証明している。
• 拡張されたGentry-Szydloフレームワークを用いることで、CM順序上でのノルム方程式が多項式時間で解ける。
• CM順序上の主イデアルは、多項式時間でその実部分順序に還元可能であり、FHEや多重線形マップスキームに対する攻撃を可能にする。
• ノルム格子への格子還元を用いることで、$ u\overline{u} $ の $ n^{-O(\log \log n)} $-近似から単数 $ u $ を多項式時間で回復可能。
• Gentry-Szydloアルゴリズムは、多数の単位根を持つ任意の数体へ一般化可能であり、最短ベクトルおよびスィーブ法の実行速度が多項式時間の要因で向上する。
• ヒューリスティック仮定のもとで、単数格子上の有界距離デコーディングは多項式時間で、近似係数 $ n^{O(\log \log n)} $ で解ける。