[論文レビュー] All 3-manifolds are the boundary of exotic 4-manifolds

John B. Etnyre, Hyunki Min+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、任意の閉じた、向き付け可能な3次元多様体が、無限に多くの異なる微分構造を持つ単連結な4次元多様体の境界であることを証明している。さらに、任意の可fillable接触3次元多様体が、凹な境界を持つ無限に多くのシンプレクティック構造を持つ単連結な4次元多様体の境界であることを示しており、接触3次元多様体に対する無限に多くの異種シンプレクティックキャップの存在を確立している。

ABSTRACT

In this note we show that any closed, oriented 3-manifold is the boundary of a simply connected 4-manifold that admits infinitely many distinct smooth structures. We also show that any fillable contact 3-manifold is the boundary of a simply connected 4-manifolds that admits infinitely many distinct smooth structures each of which supports a symplectic structure with concave boundary, that is there are infinitely many exotic caps for any contact manifold.

研究の動機と目的

• すべての閉じた、向き付け可能な3次元多様体が、無限に多くの異なる微分構造を持つ単連結な4次元多様体の境界であることを確立すること。
• 任意の可fillable接触3次元多様体が、凹な境界を持つ無限に多くのシンプレクティック構造を持つ単連結な4次元多様体の境界であることを示すこと。
• 微分4次元多様体の位相的技法を用いて、接触3次元多様体に対する異種シンプレクティックキャップを構成すること。
• 3次元境界が指定された4次元多様体における微分構造およびシンプレクティック構造の理解を拡張すること。

提案手法

• 特定の4次元多様体に無限に多くの微分構造が存在することを根拠に、ガージー理論的技法を用いる。
• シンプレクティック充填理論および接触構造理論を適用し、凹なシンプレクティック境界を持つ4次元多様体を構成する。
• 特定の4次元多様体が無限に多くの異種微分構造を備えることを利用し、ドナルドソンおよびフリードマンの4次元多様体位相に関する結果を活用する。
• トポロジーが制御された5次元多様体の境界として所望の4次元多様体を構成し、単連結性を保証する。
• 接触3次元多様体が、凹構造を持つシンプレクティック4次元多様体の境界として実現されることにより、シンプレクティックキャップの存在に依存する。
• 任意の閉じた、向きつけ可能な3次元多様体が、ハンドル体の構成により単連結な4次元多様体の境界として実現可能であるという事実を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の閉じた、向きつけ可能な3次元多様体は、無限に多くの異なる微分構造を持つ単連結な4次元多様体の境界として実現可能か？
• RQ2 すべての可fillable接触3次元多様体は、凹な境界を持つ無限に多くのシンプレクティック構造を持つ単連結な4次元多様体の境界であるか？
• RQ3 3次元多様体の位相と、その境界をなす4次元多様体における異種微分構造の存在との関係は何か？
• RQ4 シンプレクティック充填および凹な境界構造は、接触3次元多様体の境界をなす4次元多様体の微分型をどのように制約するか？
• RQ5 特定のクラスの接触3次元多様体に限らない範囲に、異種キャップの構成を一般化できるか？

主な発見

• すべての閉じた、向きつけ可能な3次元多様体は、無限に多くの異なる微分構造を持つ単連結な4次元多様体の境界である。
• 任意の可fillable接触3次元多様体は、凹な境界を持つ無限に多くの異なるシンプレクティック構造を持つ単連結な4次元多様体の境界である。
• 境界として構成された4次元多様体は、凹な境界条件と整合するシンプレクティック形式を備える。
• 境界をなす4次元多様体に無限に多くの微分構造が存在することは、異種微分構造の存在を示唆する。
• この構成により、接触3次元多様体に対する明示的な異種シンプレクティックキャップが得られる。
• 結果は、すべての閉じた、向きつけ可能な3次元多様体およびすべての可fillable接触3次元多様体を含む範囲に、異種4次元多様体の構成を拡張する。