[論文レビュー] All correlation functions of the open XXX spin 1/2 quantum chains for unparallel boundary magnetic fields with one constraint

Giuliano Niccoli|arXiv (Cornell University)|May 17, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 133被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非平行境界磁場を有する開放的XXXスピン1/2鎖における相関関数の計算のためのフレームワークを構築し、量子変数分離法（SoV）を用いて境界-バルク分解と局所演算子の個別状態への作用を導出する。主な結果は、非平行場における相関関数が変換により平行場鎖のそれらに還元可能であり、既知の対角境界ケースにおける複数重積分公式に類似した形式が得られることである。

ABSTRACT

In this first paper, we start the analysis of correlation functions of quantum spin chains with general integrable boundary conditions. We initiate these computations for the open XXX spin 1/2 quantum chains with some unparallel magnetic fields allowing for a spectrum characterization in terms of homogeneous Baxter like TQ-equations, in the framework of the quantum separation of variables (SoV). Previous SoV analysis leads to the formula for the scalar products of the so-called separate states. Here, we solve the remaining fundamental steps allowing for the computation of correlation functions. In particular, we rederive the ground state density in the thermodynamic limit thanks to SoV approach, we compute the so-called boundary-bulk decomposition of boundary separate states and the action of local operators on these separate states in the case of unparallel boundary magnetic fields. These findings allow us to derive multiple integral formulae for these correlation functions similar to those previously known for the open XXX quantum spin chain with parallel magnetic fields.

研究の動機と目的

• 非対角的で非平行な境界磁場を有する開放的XXXスピン1/2鎖における相関関数の計算を拡張すること。
• 非可換な境界行列を有する状況下で基底状態が存在せず、境界代数が非自明であるという課題を克服すること。
• ゲージ変換を介して非平行場と平行場の相関関数の間の関係を確立すること。
• 非対角的境界条件の最も一般な非制限ケースにおける相関関数の完全な解析的フレームワークを構築すること。ここではSoVとTQ方程式構造を基盤とする。

提案手法

• 非同次TQ方程式に余分な項を含む量子変数分離法（SoV）フレームワークを用いてスペクトルを特徴付ける。
• 境界状態の個別化に対する境界-バルク分解を導出し、局所演算子の作用をバルクに類似した状態への作用に還元可能にする。
• 演算子 $ \Gamma_W $ を用いたゲージ変換を導入し、全 $ \sigma^z $-演算子と可換な擬局所演算子 $ \bar{E}_{1,m} $ を定義する。
• 個別状態のスカラー積公式を適用し、SoV基底における局所演算子の行列要素を計算する。
• 特定の制約下で非平行場と平行場のケースの間に固有値が同一であるという性質（同スペクトル性）を活用し、既知の重積分公式を移行可能にする。
• 移行行列の関数的関係および解析的性質を用いて、解の完全性と一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換な境界行列を有する非平行境界磁場を有する開放的XXXスピン1/2鎖において、相関関数はどのように計算可能か？
• RQ2 境界-バルク分解は、SoVフレームワーク内での個別状態への局所演算子の作用をどのように可能にするか？
• RQ3 非平行境界磁場における相関関数は、ゲージ変換を介して平行境界磁場のそれらと関係づけられるか？
• RQ4 変換された基底において、全 $ \sigma^z $-演算子と可換な擬局所演算子の構造はいかなるものか？
• RQ5 非平行ケースにおいて均一なTQ方程式が可能となる制約下で、基底状態の熱力学的極限における密度はどのように振る舞うか？

主な発見

• 非平行境界磁場を有する開放的XXXスピン1/2鎖における相関関数は、ゲージ変換を介して平行境界ケースの相関関数の線形結合として表現可能である。
• 個別状態の境界-バルク分解が明示的に計算され、局所演算子の作用がバルクに類似した状態への作用に還元可能であることが示された。
• 相関関数の基本的ブロックが、全 $ \sigma^z $-演算子と可換である変換 $ \bar{E}_{1,m} $ に関して同等であることが示された。
• SoVアプローチを用いて基底状態密度を再導出し、既知の結果と整合することが確認された。
• 変換後、局所演算子の作用が、純粋に境界の個別状態の線形結合として表現可能であることが示された。
• 結果として、等価な境界条件を持つ鎖において、有限サイトにおける擬局所演算子の相関関数が熱力学的極限で一致することが確認された。これは、片方が対角的で他方が三角行列である場合でも成立する。