[論文レビュー] Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions

V. E. Korepin, A. G. Izergin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 1993

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 15被引用数 820

ひとこと要約

本稿は、量子逆散乱法（QISM）を用いて、1+1次元量子場理論および統計力学における正確解を統合的に扱うフレームワークを提示する。ベーテアンツァツおよび逆散乱技法を統一し、相関関数をフレドホルム行列式として導出し、元の量子模型と関連する微分方程式を用いて解くことで、中心電荷が1であるギャップなし系における明示的な漸近挙動および臨界指数を導出する。

ABSTRACT

The book contain detailed explanation of Bethe Ansatz, Quantum Inverse Scattering Method and Algebraic Bether Ansatz as well. Main Models are Nonlinear Schrodinger equation (one dimensional Bose gas), Sine-Gordon and Thiring models. Heisenberg Antiferromagnet and Hubbard models. It is explained in detail, how to calculate correlation functions.

研究の動機と目的

• 1+1次元における正確可解な量子模型を解くための統一的代数的フレームワークを、量子逆散乱法を用いて構築すること。
• Lax表現およびYang-Baxter方程式から、量子相関関数を体系的に導出すること。
• 相関関数の漸近的挙動、特に長距離での減衰指数および有限サイズ補正を計算すること。
• 代数的ベーテアンツァツと量子群、因子化されたS行列、および conformal field theory を結びつけること。
• 非線形シュレーディンガー方程式、sine-Gordon模型、ヘイゼンベルグ反強磁性体、 Hubbard模型といった主要モデルに対する明示的解を提供すること。

提案手法

• Lax作用素およびR行列がYang-Baxter方程式を満たすように、量子逆散乱法を用いて解を構成する。
• 量子相関関数を、Gel’fand-Levitan-Marchenko方程式に関連する特殊構造を持つ積分作用素のフレドホルム行列式として表現する。
• 元の量子模型の力学と直接関係する相関関数の微分方程式を導出する。
• 代数的ベーテアンツァツを用いてベーテ状態のノルムおよびスカラー積を計算し、それらが単純な行列の行列式に帰着されることを示す。
• 共形場理論の技法を用いて、ギャップなし相における長距離漸近挙動および臨界指数を評価する。
• 準古典的量子化および作用角変数形式を用いて、古典的可積分性と量子模型を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元における量子場理論に対して、量子逆散乱法を体系的に応用して正確解を導出する方法は何か？
• RQ2 正確可解模型において、ベーテアンツァツ、量子群、Yang-Baxter方程式を結ぶ明確な代数的構造は何か？
• RQ3 量子相関関数は、フレドホルム行列式および微分方程式の観点からどのように表現され、計算されるか？
• RQ4 ギャップなし系における相関関数の明示的漸近的挙動は何か？臨界指数はモデルパラメータにどのように依存するか？
• RQ5 有限サイズ補正およびVirasoro代数の中心電荷は、可積分模型の正確解からどのように導出されるか？

主な発見

• 可積分模型における相関関数は、Gel’fand-Levitan-Marchenko方程式から導かれる特殊な積分作用素のフレドホルム行列式として表現される。
• 相関関数の漸近的挙動が明示的に評価され、中心電荷が1のギャップなし相において、モデルに依存する臨界指数を伴うべきべき乗則の減衰が示される。
• 共形漸近挙動を記述するVirasoro代数の中心電荷は、研究された模型において一般に1に等しいことが判明した。
• ベーテ波動関数のノルムが単純な行列の行列式に等しいことが証明され、スカラー積の正確な計算が可能になる。
• 相関関数の微分方程式が導出され、元の量子模型の力学と直接関連していることが示され、τ関数を用いた完全な解が得られる。
• 本手法は、ベーテアンツァツから得られる既知の結果を再現するとともに、時間依存および温度依存の相関関数へと拡張する。