[論文レビュー] Almost {\alpha}-Cosymplectic ({\kappa},{\mu},{ u})-Spaces

Hakan Öztürk, Nesip Aktan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2010

Geometric Analysis and Curvature FlowsMathematics参考文献 10被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、一般化された$(\kappa,\mu,\nu)$-零位条件を満たすほぼ$\alpha$-コシミプレクティック多様体を調査し、次元が3より大きい場合、$\kappa$、$\mu$、$\nu$が定数関数でなくてもよいことを証明している。$D$-同調変形に関して不変であることを確立し、非定数$\kappa$および$\mu$をもつ3次元の例を構成することで、定数の場合以外の構造の存在を示している。

ABSTRACT

Main interest of the present paper is to investigate the almost {\\alpha}-cosymplectic manifolds for which the characteristic vector field of the almost {\\alpha}-cosymplectic structure satisfies a specific ({\\kappa},{\\mu},{\ u})-nullity condition. This condition is invariant under D-homothetic deformation of the almost cosymplectic ({\\kappa},{\\mu},{\ u})-spaces in all dimensions. Also, we prove that for dimensions greater than three, {\\kappa},{\\mu},{\ u} are not necessary constant smooth functions such that df^{\\eta}=0. Then the existence of the three-dimensional case of almost cosymplectic ({\\kappa},{\\mu},{\ u})-spaces are studied. Finally, we construct an appropriate example of such manifolds.

研究の動機と目的

• 一般化された$(\kappa,\mu,\nu)$-零位条件を満たすほぼ$\alpha$-コシミプレクティック多様体を調査すること。
• 次元が3より大きい場合、$\kappa$、$\mu$、$\nu$が非定数の滑らかな関数である可能性を特定すること。
• $D$-同調変形に関して$(\kappa,\mu,\nu)$-零位条件の不変性を証明すること。
• 非定数$\kappa$および$\mu$をもつ3次元のほぼ$\alpha$-コシミプレクティック$(\kappa,\mu,\nu)$-空間の存在を確立すること。
• 非定数関数をもつ$(\kappa,\mu,\nu)$-零位条件を満たす3次元のほぼ$\alpha$-コシミプレクティック多様体の明示的例を構成すること。

提案手法

• ほぼ$\alpha$-コシミプレクティック多様体の概念を導入し、テンソル場$h$およびリーブベクトル場$\xi$を含む曲率式を導出する。
• $D$-同調変形を用いて、すべての次元において$(\kappa,\mu,\nu)$-零位条件の不変性を示す。
• $h$の$\eta$-平行性条件を適用し、$\mathcal{D}$-分布の積分部分多様体の幾何的性質を導出する。
• $R(X,Y)\xi$に関する曲率恒等式を$\kappa$、$\mu$、$\nu$の言いかえで導出し、これらが$\eta$-閉関数に依存することを示す。
• 明示的に定義されたテンソル場$\phi$、$\xi$、$g$、$\eta$をもつ3次元多様体$M^3 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid z \neq 0\}$を構成する。
• 構造のほぼ$\alpha$-コシミプレクティック性を$d\eta = 0$および$d\Phi = 2\alpha \eta \wedge \Phi$により検証し、$R(X,Y)\xi$を計算して$\kappa = -(e^{-4\alpha z} + \alpha^2)$、$\mu = 2z$、$\nu = 0$を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が3より大きい場合、ほぼ$\alpha$-コシミプレクティック多様体は、非定数の滑らかな関数$\kappa$、$\mu$、$\nu$をもつ$(\kappa,\mu,\nu)$-零位条件を満たすことができるか？
• RQ2 すべての次元において、$(\kappa,\mu,\nu)$-零位条件は$D$-同調変形に関して不変か？
• RQ3 ほぼ$\alpha$-コシミプレクティック多様体におけるテンソル場$h$の$\eta$-平行性の幾何的意味は何か？
• RQ4 非定数$\kappa$および$\mu$をもつ3次元のほぼ$\alpha$-コシミプレクティック$(\kappa,\mu,\nu)$-空間は存在するか？
• RQ5 非定数$\kappa$および$\mu$をもつ$(\kappa,\mu,\nu)$-零位条件を満たす3次元のほぼ$\alpha$-コシミプレクティック多様体の明示的例を構成できるか？

主な発見

• 次元が3より大きい場合、$(\kappa,\mu,\nu)$-零位条件における関数$\kappa$、$\mu$、$\nu$は必ずしも定数ではなく、$df \wedge \eta = 0$を満たす部分環$\mathcal{R}_\eta(M^{2n+1})$に属する必要がある。
• すべての次元において$(\kappa,\mu,\nu)$-零位条件は$D$-同調変形に関して不変であり、構造の幾何的性質が保たれる。
• テンソル場$h$が$\eta$-平行であるとき、$\mathcal{D}$-分布の積分部分多様体はK\textasciibreve{e}hler的性質を有する。