[論文レビュー] Minimal stretch maps between hyperbolic surfaces

William P. Thurston|ArXiv.org|Jan 9, 1998

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 224

ひとこと要約

本論文は、2つの双曲的表面間の最小リプシッツ定数が、単純閉測地線の長さ比の上限に等しいことを確立し、最小ストレッチ写像の幾何的特徴付けを提示する。Teichmüller空間に非対称なFinsler計量を導入し、崩壊座標を用いて極値写像を構成し、最大ストレッチラミネーションがほとんど常に単純閉測地線であることを証明する。

ABSTRACT

This paper develops a theory of Lipschitz comparisons of hyperbolic surfaces analogous to the theory of quasi-conformal comparisons. Extremal Lipschitz maps (minimal stretch maps) and geodesics for the `Lipschitz metric' are constructed. The extremal Lipschitz constant equals the maximum ratio of lengths of measured laminations, which is attained with probability one on a simple closed curve. Cataclysms are introduced, generalizing earthquakes by permitting more violent shearing in both directions along a fault. Cataclysms provide useful coordinates for Teichmuller space that are convenient for computing derivatives of geometric function in Teichmuller space and measured lamination space.

研究の動機と目的

• 双曲的表面間の最小ストレッチ写像の幾何的理論を、Teichmüller理論に類似した形で構築すること。
• 有限面積の曲面に2つの双曲的構造が与えられたときの最小リプシッツ定数を特徴付けること。
• 極値リプシッツ写像を用いてTeichmüller空間に非対称Finsler計量を構成すること。
• Teichmüller空間および測度付きラミネーション空間に微分可能な構造を持つ崩壊座標系を導入すること。
• 最大ストレッチラミネーションがほとんど常に単純閉測地線であることを示し、計算応用の可能性を示すこと。

提案手法

• 写像のリプシッツ定数を、局所的なストレッチ係数の本質的上界として定義する。
• 最小リプシッツ定数が、出発面と到達面におけるすべての単純閉測地線の長さ比の上限に等しいことを証明する。
• 測度付きラミネーションをパrameterとする幾何的変形法である崩壊を用いて極値ストレッチ写像を構成する。
• 双曲的構造から測度付き foliation を逆にパrameter化することで、Teichmüller空間に崩壊座標を導入する。
• 崩壊写像の微分可能性とその導関数の一様有界性を用いて、長さ関数の連続性および正則性を確立する。
• 接空間および余接空間における単位球の双対幾何を分析し、双対単位球がほとんど平坦な面を持たないことを示し、鋭い構造を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された位相型を持つ2つの双曲的表面間の写像における最小リプシッツ定数は何か？
• RQ2 極値リプシッツ写像はどのように幾何的に構成できるか。また、非対称Finsler計量における測地線とはどのような関係にあるか？
• RQ3 最大ストレッチ比を達成するラミネーションの集合の構造は何か？
• RQ4 Teichmüller空間の接空間および余接空間は、リプシッツノルムに関してどのように振る舞うか。特に、単位球の平坦な面に関しては？
• RQ5 この理論は$L^p$ノルムや3次元の双曲的多様体へ拡張可能か。特に準Fuchs群の文脈においては？

主な発見

• 2つの双曲的表面間の最小リプシッツ定数は、2つの表面における単純閉測地線の長さ比の上限に等しい。
• 極値リプシッツ写像は、崩壊変形の合成として実現され、最大ストレッチラミネーションはほとんど常に単純閉測地線である。
• Teichmüller空間における非対称Finsler計量は、ストレッチ係数の対数によって定義され、その測地線は1パラメータ族の極値写像に対応する。
• 測度付きラミネーション空間の接空間は、測度付き foliation の空間に自然に同一視可能であり、長さ関数は微分可能で、導関数が一様に有界である。
• 接空間における単位球はほとんど平坦な面を持たず、これは、線形計量における非自明な平坦性を持つ方向の集合が測度ゼロであることを示唆する。
• 余接空間における双対単位球はほとんど常に鋭い構造を持つ。つまり、ランダムに選ばれた方向はほとんど確実に、滑らかでない境界を持つ特異点上にある。