[論文レビュー] Almost Einstein and Poincare-Einstein manifolds in Riemannian signature

A. Rod Gover|ArXiv.org|Mar 25, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、スカラー曲率が負で奇数次元のほぼアインシュタイン多様体において、スケール特異点集合 $ \Sigma $ が非空である場合、$ \Sigma $ の内在的幾何は、すべての次数でリッチ平坦なフェッファーマン＝グラハム計量であることが示され、アーモニックと境界のWeylテンソルの関係 $ (d-5)W|_{\Sigma} = (d-4)W^{\Sigma} $ が成り立つ。これは、アインシュタイン計量の共形不変一般化として、ほぼアインシュタインおよびポアンカレ＝アインシュタイン多様体を導入し、滑らかな関数 $ s $ が共形不変な過剰決定系の偏微分方程式を満たすものとする。

ABSTRACT

An almost Einstein manifold satisfies equations which are a slight weakening of the Einstein equations; Einstein metrics, Poincare-Einstein metrics, and compactifications of certain Ricci-flat asymptotically locally Euclidean structures are special cases. The governing equation is a conformally invariant overdetermined PDE on a function. Away from the zeros of this the almost Einstein structure is Einstein, while the zero set gives a scale singularity set which may be viewed as a conformal infinity for the Einstein metric. In this article we give a classification of the possible scale singularity spaces and derive geometric results which explicitly relate the intrinsic conformal geometry of these to the conformal structure of the ambient almost Einstein manifold. Classes of examples are constructed. A compatible generalisation of the constant scalar curvature condition is also developed. This includes almost Einstein as a special case, and when its curvature is suitably negative, is closely linked to the notion of an asymptotically hyperbolic structure.

研究の動機と目的

• スケール特異点集合 $ \Sigma $ の可能な幾何的構造を分類すること。ここで $ \Sigma = \{s=0\} $ であり、$ s $ はほぼアインシュタイン関数である。
• $ \Sigma $ の内在的幾何とアーモニックほぼアインシュタイン構造との間の共形理論を構築すること。
• 新しい方程式 $ S(g,s) = \text{定数} $ を用いて、定数スカラー曲率条件を一般化し、非摂動的双曲的およびALE構造への応用を示すこと。
• 奇数次元のスカラー負のほぼアインシュタイン多様体において、特異点空間 $ \Sigma $ が形式的に滑らかで、リッチ平坦なフェッファーマン＝グラハム計量を誘導することを確立すること。
• アーモニックと境界のWeylテンソルの間の明確な関係を導出すること：$ (d-5)W|_{\Sigma} = (d-4)W^{\Sigma} $。

提案手法

• 共形不変な過剰決定系の偏微分方程式 $ A(g,s) = \text{trace-free}(\nabla^2 s + sP) = 0 $ を用いて、ほぼアインシュタイン多様体を定義する。ここで $ P $ はショウテンテンソルである。
• 解 $ s $ を用いて、共形的コンactification $ g^o = s^{-2}g $ を構成し、$ s \neq 0 $ で $ g^o $ がアインシュタイン計量となるようにする。$ \Sigma = \{s=0\} $ は共形無限遠として機能する。
• トランスフォーム計算とアーモニック計量技術を用いて、特に奇数次元においてスケール特異点集合 $ \Sigma $ の幾何を分析する。
• アーモニック空間 $ \tilde{M} $ 上の同次関数 $ \sigma $ を構成し、$ \Sigma $ を $ \sigma $ の零点集合として得る。さらに、平行1形式 $ \boldsymbol{I} $ を用いて、完全測地的超曲面 $ \boldsymbol{\Sigma} $ を定義する。
• $ \boldsymbol{\Sigma} $ 上の誘導計量 $ \boldsymbol{h}_{\boldsymbol{\Sigma}} $ が、$ (\Sigma, [g_\Sigma]) $ のフェッファーマン＝グラハム計量であり、$ \boldsymbol{\Sigma} $ がすべての次数でリッチ平坦であることを示す。
• アーモニックと境界幾何の曲率制約を用いて、Weylテンソルの関係 $ (d-5)W|_{\Sigma} = (d-4)W^{\Sigma} $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼアインシュタイン多様体におけるスケール特異点集合 $ \Sigma $ の可能な内在的幾何的構造は何か？
• RQ2 特異点空間 $ \Sigma $ の共形幾何は、アーモニックほぼアインシュタイン構造とどのように関係するか？
• RQ3 定数スカラー曲率条件は、ほぼアインシュタインおよび非摂動的双曲的構造を含む形で、どのように一般化可能か？
• RQ4 特異点空間 $ \Sigma $ がリッチ平坦なフェッファーマン＝グラハム計量を誘導する条件は何か？
• RQ5 アーモニックWeylテンソル $ W $ と境界Weylテンソル $ W^\Sigma $ の間の明確な関係は何か、$ \Sigma $ 上で成立するか？

主な発見

• 奇数次元のスカラー負のほぼアインシュタイン多様体で $ \Sigma $ が非空である場合、特異点空間 $ \Sigma $ は形式的に滑らかで、すべての次数でリッチ平坦なフェッファーマン＝グラハム計量を有する。
• $ \boldsymbol{\Sigma} $ 上の誘導計量 $ \boldsymbol{h}_{\boldsymbol{\Sigma}} $ は完全測地的であり、$ \Sigma $ 上の計量バンドルの標準計量と一致する。
• $ \boldsymbol{\Sigma} $ の内在的リッチ曲率はすべての次数で消えるため、$ \boldsymbol{\operatorname{Ric}}^{\boldsymbol{\Sigma}} = 0 $ である。
• Weylテンソルは関係 $ (d-5)W|_{\Sigma} = (d-4)W^{\Sigma} $ を満たし、これはすべての $ d \geq 3 $ に対して成り立つが、$ d=4 $ の場合、次元特有の障害のため関係は成立しない。
• $ d=5 $ の場合、$ [g_\Sigma] $ のバッハ平坦性により $ W^\Sigma = 0 $ であるが、$ W|_\Sigma $ は非ゼロであり、アーモニック曲率制約に対応する。
• $ d=3 $ の場合、$ \boldsymbol{R} $ と $ \boldsymbol{R}^\Sigma $ はともに恒等的にゼロであるため、Weyl関係は自明に成立する。