[論文レビュー] Almost Envy Freeness and Welfare Efficiency in Fair Division with Goods or Bads

Martin Aleksandrov|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、好ましくないアイテム（bad）の公平配分において、既存の代理指標（EF1 や EFX）を一般化する新しい公平性の概念である 1EF および XEF を導入する。加えて、加法的および同一評価値のもとで、ほぼ envy-free かつ福祉効率（パレート効率、ナッシュ効用、エゴイスト的非効用）を達成する新しいアルゴリズム（Lipton–、leximax–、Alg-Identical–）を提案する。ナッシュ非効用最大化が同一評価値のもとで XEF および PE 分配をもたらすことを証明するとともに、反単調評価値のもとで 1EF と効率性を併せ持つことは不可能であることを示す。

ABSTRACT

We consider two models of fair division with indivisible items: one for goods and one for bads. For goods, we study two generalized envy freeness proxies (EF1 and EFX for goods) and three common welfare (utilitarian, egalitarian and Nash) efficiency notions. For bads, we study two generalized envy freeness proxies (1EF and XEF for goods) and two less common diswelfare (egalitarian and Nash) efficiency notions. Some existing algorithms for goods do not work for bads. We thus propose several new algorithms for the model with bads. Our new algorithms exhibit many nice properties. For example, with additive identical valuations, an allocation that maximizes the egalitarian diswelfare or Nash diswelfare is XEF and PE. Finally, we also give simple and tractable cases when these envy freeness proxies and welfare efficiency are attainable in combination (e.g. binary valuations, house allocations).

研究の動機と目的

• 好ましいアイテム（goods）における公平性と効率性の概念を bad に拡張し、bad に対しては失敗する既存のアルゴリズムの限界を克服すること。
• ゼロの限界評価値に強く、かつ従来の概念よりも一般化された、bad における新しい公平性の代理指標（1EF および XEF）を定義すること。
• bad に対してほぼ envy-free かつ福祉効率（パレート効率、ナッシュ効用、エゴイスト的非効用）を両立させる新しいアルゴリズム（Lipton–、leximax–、Alg-Identical–）を設計すること。
• ほぼ envy-free と福祉効率が同時に達成可能な条件を確立し、0/-1 評価値などの解けるケースを含むこと。
• 反単調同一評価値のもとで 1EF と効率性を併せ持つことは不可能であることを証明すること。

提案手法

• bad における一般化された envy-free 代理指標として 1EF および XEF を定義し、限界非効用とバンドル削除に基づく。
• 反単調評価値のもとで 1EF 分配を計算する Lipton– アルゴリズム（Lipton のアルゴリズムの変種）を提案。
• 最大最小に基づくアプローチである leximax– 解法を考案し、同一または 2 人分の異なる評価値のもとで XEF および MEDW（エゴイスト的非効用）を保証。
• 負の問題に変換した場合の Alg-Identical アルゴリズムを模倣する Alg-Identical– アルゴリズムを設計し、同一評価値のもとで XEF および福祉効率を保証。
• 好ましいアイテムと bad の間の双対性を利用：負の bad 問題においてナッシュ非効用を最大化する分派は、元の bad の文脈で XEF および PE 分配に対応する。
• 還元技術と問題の符号反転を用いて、特に同一評価値のケースにおいて、好ましいアイテムの結果を bad に移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の好ましいアイテム用の公平性代理指標（EF1, EFX）を、低価値状況で自明に満たされるのを避ける形で、bad に一般化できるか？
• RQ2 公平配分における bad に対して、ほぼ envy-free と福祉効率（パレート効率、ナッシュ効用、エゴイスト的非効用）を両立させる新しいアルゴリズムが存在するか？
• RQ3 0/-1 評価値、同一評価値などの条件下で、1EF および XEF を福祉効率と併せ持てるか？
• RQ4 反単調同一評価値のもとで、1EF と福祉効率を同時に達成することは可能か？もし不可能なら、その理由は何か？
• RQ5 好ましいアイテムにおける公平性と効率性の公理的性質は、bad にどのように一般化されるか。特に双対性とアルゴリズムの移行の観点から。

主な発見

• エージェントが bad に対して同一評価値を持つ場合、ナッシュ非効用（非効用の積）を最大化する分派は、XEF および PE であることが保証される。
• Lipton– アルゴリズムは、任意の反単調評価値のもとで 1EF 分派を計算でき、最大の envy を制限する。これは Lipton の元のアルゴリズムを bad に拡張したものである。
• leximax– 解法は、任意の数のエージェントに対して同一評価値のもとで XEF および MEDW（エゴイスト的非効用）分派を生成する。2 人分の異なる評価値でも同様に成立する。
• 0/-1 評価値のもとでは、レスポンシブドラフト（responsive draft）アルゴリズムが線形時間で XEF、PE、MUW、MEW、mNDW 分派を計算できる。
• 反単調同一評価値のもとでは、1EF 分派はパレート効率を満たせない。2 人のエージェントと 3 つまたは 4 つのアイテムを含む反例により示された。
• 反単調評価値のもとでは、MEW（マキシミンエゴイスト的福祉）分派が 1EF または MEDW を満たさないことがある。2 人のエージェントでも同様に、根本的な不整合性が示された。