[論文レビュー] Almost filling laminations and the connectivity of ending lamination space

David Gabai|ArXiv.org|Aug 15, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、3-穴球面、4-穴球面、1-穴トーラスを除く、負のオイラー標数をもつ有限型の向きつけ可能曲面 $S$ に対して、終端ラミネーション空間 $σ\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ が連結で、局所的に路結合的であり、循環的であることを確立する。証明では、任意の2つの最小で満たす測度付きラミネーションの間に、次第に複雑になる補集合を持つほぼ満たすラミネーションの列を介して経路を構成し、射影単位接 bundle 内での制御された超収束を通じて、終端ラミネーション空間内に連続経路が収束することを保証する。

ABSTRACT

We show that if S is a finite type orientable surface of negative Euler characteristic which is not the 3-holed sphere, 4-holed sphere or 1-holed torus, then the ending lamination space of S is connected, locally path connected and cyclic.

研究の動機と目的

• 負のオイラー標数をもつ曲面 $S$（3-穴球面、4-穴球面、1-穴トーラスを除く）に対して、終端ラミネーション空間 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ の位相的連結性および局所的路結合性を確立すること。
• 同じ条件下で、曲面複体 $\mathcal{C}(S)$ の境界 $\partial\mathcal{C}(S)$ が連結で、局所的に路結合的かつ循環的であることを示し、$\partial\mathcal{C}(S)$ と $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ の間のホメオモーフィズムを用いること。
• 曲面複体 $\mathcal{C}(S)$ の剛性結果を証明し、すべてのクアイジアイソメトリーが単体的自己同型と一様に近いことを示し、クアイジアイソメトリー型がやや制限された条件下で、表面が位相同型であることまで決定することを示すこと。
• 同じクラスの曲面に対して、二重に退化するクライン群の空間 $\mathrm{DD}(S,\partial S)$ が連結で、路結合的であり、循環的であることを示すこと。

提案手法

• 2つの最小で満たす測度付きラミネーション $\lambda_0$ と $\lambda_1$ の間の経路を、分岐線形近似を用いて測度付きラミネーション空間 $\mathcal{M}\mathcal{L}(S)$ 内に構成する。
• 各 $f_n(t)$ が高々1つの補集合の単純閉じた測地線を持つ、ほぼ満たし、ほぼ最小の測度付きラミネーションであるような経路の列 $f_1, f_2, \dots$ を定義する。
• 補集合の測地線の複雑さを制御し、$n \to \infty$ のときその長さが無限大に近づくようにすることで、極限でコンパクトな葉が消えるようにする。
• 射影単位接 bundle $PT(S)$ 内での離散近似を用い、$\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ 内の極限経路の連続性を保証する。$j > i$ に対して $f_i(t(i))$ が $f_j(t)$ の $2\epsilon_i$-近傍内にあるようにする。
• 忘却写像 $\phi: \mathcal{M}\mathcal{L}(S) \to \mathcal{L}(S)$ の超収束を活用し、$\mathcal{M}\mathcal{L}(S)$ 内での収束が、$PT(S)$ 内で台のハウスドルフ収束を意味することを用いる。
• 得られた経路結合性を応用し、曲面複体 $\mathcal{C}(S)$ および二重に退化するクライン群の空間 $\mathrm{DD}(S,\partial S)$ の剛性定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3-穴球面、4-穴球面、1-穴トーラスを除くすべての有限型曲面 $S$ に対して、終端ラミネーション空間 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ は連結であるか？
• RQ2 同じ条件下で、曲面複体 $\partial\mathcal{C}(S)$ が局所的に路結合的かつ循環的であることを示せるか？
• RQ3 終端ラミネーション空間 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ の経路結合性は、曲面複体に対して強い剛性をもたらすか。例えば、クアイジアイソメトリーが単体的自己同型と一様に近いかどうか。
• RQ4 $S$ が3-または4-穴球面、あるいは1-穴トーラスと位相同型でないコンパクトな双曲的曲面であるとき、二重に退化するクライン群の空間 $\mathrm{DD}(S,\partial S)$ は連結で、路結合的であるか？

主な発見

• 3-穴球面、4-穴球面、1-穴トーラスを除く、負のオイラー標数をもつすべての有限型の向きつけ可能な曲面 $S$ に対して、終端ラミネーション空間 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ は連結で、局所的に路結合的であり、循環的である。
• 同じ条件下で、曲面複体 $\partial\mathcal{C}(S)$ は連結で、局所的に路結合的であり、循環的である。これは $\partial\mathcal{C}(S)$ と $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ の間のホメオモーフィズムのおかげである。
• すべての $\mathcal{C}(S)$ のクアイジアイソメトリーは、単体的自己同型と一様に近い。したがって、$\mathrm{QI}(\mathcal{C}(S)) \cong \mathrm{Aut}(\mathcal{C}(S))$ が成り立つ。
• 2つの曲面 $S$ と $\Sigma$ が位相同型であるための必要十分条件は、それらの曲面複体 $\mathcal{C}(S)$ と $\mathcal{C}(\Sigma)$ がクアイジアイソメトリックであることである。ただし、いずれの曲面も genus-2 表面、あるいは2-穴の1-トーラスでないものとする。
• 3-穴球面、4-穴球面、1-穴トーラスと位相同型でないコンパクトな双曲的曲面 $S$ に対して、二重に退化するクライン群の空間 $\mathrm{DD}(S,\partial S)$ は連結で、路結合的であり、循環的である。