[論文レビュー] Almost Gorenstein Rees algebras of $p_g$-ideals, good ideals, and powers of the maximal ideals

Shirô Gotô, Naoyuki Matsuoka+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Cohen-Macaulay局域環における特定のイデアル $I$ のRees代数 $Χ(I)$ が、ほぼGorensteinであることを確立している。これには、2次元Gorenstein正規整域における $p_g$-イデアル、最小多重度のほぼGorenstein環における極大イデアルのべき、および次元 $d \geq 2$ の正則局域環における $\mathfrak{m}^{d-1}$ が含まれる。主な貢献は逆結果である：$\ell \geq 2$ かつ $d \geq 3$ のとき、$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ がほぼGorensteinならば、$\ell = d-1$ でなければならない。

ABSTRACT

Let $(A,{\mathfrak m})$ be a Cohen-Macaulay local ring and let $I$ be an ideal of $A$. We prove that the Rees algebra ${\mathcal R}(I)$ is an almost Gorenstein ring in the following cases: (1) $(A,{\mathfrak m})$ is a two-dimensional excellent Gorenstein normal domain over an algebraically closed field $K \cong A/{\mathfrak m}$ and $I$ is a $p_g$-ideal; (2) $(A,{\mathfrak m})$ is a two-dimensional almost Gorenstein local ring having minimal multiplicity and $I={\mathfrak m}^{\ell}$ for all $\ell \ge 1$; (3) $(A,{\mathfrak m})$ is a regular local ring of dimension $d \ge 2$ and $I={\mathfrak m}^{d-1}$. Conversely, if ${\mathcal R}({\mathfrak m}^{\ell})$ is an almost Gorenstein graded ring for some $\ell \ge 2$ and $d \ge 3$, then $\ell=d-1$.

研究の動機と目的

• 2次元正則局域環における $\mathfrak{m}$-主な整閉イデアルのRees代数がほぼGorensteinであるという既知の結果を、より広いクラスの環とイデアルへと拡張すること。
• 2次元優れたGorenstein正規局域環における $p_g$-イデアル、良いイデアル、および極大イデアルのべきのRees代数が、ほぼGorensteinな次数付き環である条件を調査すること。
• 正則局域環において、$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ がほぼGorensteinである正確な条件を特定すること。
• 逆結果を確立する：$\ell \geq 2$ かつ $d \geq 3$ のとき、$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ がほぼGorensteinならば、必然的に $\ell = d-1$ である。

提案手法

• 次数付きほぼGorenstein環の定義を、短完全系列 $0 \to R \to \mathrm{K}_R(-a) \to C \to 0$ を用いて行い、ここで $C$ は $\mu_R(C) = \mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C)$ を満たすUlrich加群である。
• 代数閉体上での2次元優れたGorenstein正規局域環における $p_g$-イデアルの理論を適用し、$\mathcal{R}(I)$ がほぼGorensteinであることを示す。
• 次元 $d \geq 2$ の正則局域環における $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ の構造を解析し、$a$-不変量と正準モジュールを明示的に計算する。
• 二項係数を含む組合せ的恒等式を用いて、$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ の場合に、多重度 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C)$ と生成数 $\mu_R(C)$ を比較する。
• ある条件下で、$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)_{\mathfrak{M}}$ が局所的にほぼGorensteinであることと、$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ が次数付きでほぼGorensteinであることの同値性を用いる。
• 正則局域環の次元 $d \geq 3$ において、$\mathcal{R}(Q)$ がほぼGorenstein次数付きであることと $Q = \mathfrak{m}$ であることが同値であるという結果を応用し、逆結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元優れたGorenstein正規局域環で、代数閉体上に定義された、$p_g$-イデアル $I$ のRees代数 $\mathcal{R}(I)$ がほぼGorensteinとなる条件は何か？
• RQ2 2次元最小多重度のほぼGorenstein局域環で、$\ell \geq 1$ のとき、$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ がほぼGorensteinとなる条件は何か？
• RQ3 次元 $d \geq 2$ の正則局域環 $(A,\mathfrak{m})$ において、$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^{d-1})$ がほぼGorenstein次数付き環である条件は何か？
• RQ4 $\ell \geq 2$ かつ $d \geq 3$ のとき、$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ がほぼGorensteinならば、$\ell = d - 1$ でなければならないか？
• RQ5 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ のほぼGorenstein系列におけるcokernel $C$ におけるUlrich加群条件と、多重度 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C)$ の関係は何か？

主な発見

• $(A,\mathfrak{m})$ が代数閉体上に定義された2次元優れたGorenstein正規整域であり、$I$ が $p_g$-イデアルであるとき、Rees代数 $\mathcal{R}(I)$ はほぼGorenstein次数付きである。
• $(A,\mathfrak{m})$ が2次元最小多重度のほぼGorenstein局域環であり、$I = \mathfrak{m}^\ell$（$\ell \geq 1$）であるとき、$\mathcal{R}(I)$ はほぼGorenstein次数付きである。
• 次元 $d \geq 2$ の正則局域環 $(A,\mathfrak{m})$ に対して、Rees代数 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^{d-1})$ はほぼGorenstein次数付きである。
• 逆に、$\ell \geq 2$ かつ $d \geq 3$ のとき、$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ がほぼGorenstein次数付きならば、$\ell = d - 1$ でなければならない。
• $\ell \neq d - 1$ の場合、cokernel $C$ の定義完全系列において $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C) > \mu_\mathcal{R}(C)$ が成り立つため、Rees代数 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ はほぼGorenstein次数付きでない。
• 多重度 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C)$ は $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C) \geq \ell^d$ を満たすが、$\ell \neq d - 1$ のとき $\mu_\mathcal{R}(C) \leq b < \frac{d-1}{\ell}$ となるため、この不等式は $\mu_\mathcal{R}(C)$ を上回る。