[論文レビュー] Almost harmonic Maass forms and Kac-Wakimoto characters

Kathrin Bringmann, Amanda Folsom|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Kacが提起した問いを解決し、$\mathfrak{\widehat{\mathfrak{sl}}}(m|n)$最高重層モジュールのKac-Wakimoto特徴は、深さ$n$の新しい自己形式である「ほぼ調和マース形式」として定義される新しい自己形式の正則部分として本質的に記述されることを証明している。著者らは、これらの形式の自己形式的性質を確立し、それらの特徴に対して明示的な漸近展開を導出しており、$n=1$の既存結果を任意の$n \geq 1$に一般化している。主な貢献は、任意の次数の極を持つメロモーレック・ヤコビ形式のモジュラー性を記述するための「ほぼ調和マース形式」の導入である。

ABSTRACT

We resolve a question of Kac, and explain the automorphic properties of characters due to Kac-Wakimoto pertaining to sl(m|n)^ highest weight modules, for n \geq 1. We prove that the Kac-Wakimoto characters are essentially holomorphic parts of certain generalizations of harmonic weak Maass forms which we call "almost harmonic Maass forms". Using a new approach, this generalizes prior work of the first author and Ono, and the authors, both of which treat only the case n = 1. We also provide an explicit asymptotic expansion for the characters.

研究の動機と目的

• Kacが提起した、$\mathfrak{\widehat{\mathfrak{sl}}}(m|n)$最高重層モジュールのKac-Wakimoto特徴の自己形式的性質に関する長年の問いを解決すること。
• 既存の$n=1$に関する結果を任意の$n \geq 1$に一般化すること。この場合、特徴はモジュラー形式ではないが、新たな自己形式的対象の正則部分として記述される。
• 任意の次数$n \geq 1$の極を持つメロモーレック・ヤコビ形式のための枠組みを構築すること。この分野には、文献上、完全な理論が存在しない。
• 積分変換と特殊関数に基づく新規な手法を用いて、Kac-Wakimoto特徴$\operatorname{tr}_{L_{m,n}(\Lambda_{(\ell)})}q^{L_0}$の明示的な漸近展開を確立すること。

提案手法

• 著者らは、任意の次数$n \geq 1$の極を持つメロモーレック・ヤコビ形式を扱えるように、調和弱マース形式の一般化として「深さ$r$のほぼ調和マース形式」を定義する。
• Kac-Wakimotoの生成関数$\operatorname{ch}F = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \operatorname{ch}F_\ell \zeta^\ell$を分析する。これは、次数$n$の極を持つメロモーレック・ヤコビ形式である。
• すべての$w_s = 1$および$e^{\Lambda_0} = 1$と設定することで、生成関数を解析に適した形に簡略化し、収束性と自己形式的構造を保持する。
• 積分表現$ I_\ell(t) = \int_{\mathbb{R}} \frac{e^{\frac{\pi(n-m)u^2}{t} - 2\pi i \ell u}}{\cosh(\frac{\pi u}{t})^n} du $を用いて、特徴の漸近的挙動を研究する。
• $t=0$の周りでの$I_\ell(t)$のテイラー展開を用いて、漸近展開を導出する。この際、モーメント$\widetilde{\mathcal{E}}_{k,n} = \int_{\mathbb{R}} \frac{x^k}{\cosh(\pi x)^n} dx$の再帰関係を用いる。
• 証明は留数計算と部分積分に依拠し、$\widetilde{\mathcal{E}}_{k,n}$の再帰関係を導出し、異なる$n$におけるモーメントを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の$n \geq 1$に対して、$\mathfrak{\widehat{\mathfrak{sl}}}(m|n)$モジュールのKac-Wakimoto特徴の自己形式的性質をどのように特徴づけられるか。
• RQ2 調和弱マース形式を一般化し、任意の次数$n \geq 1$の極を持つメロモーレック・ヤコビ形式を記述する新しい自己形式的対象のクラスは何か。
• RQ3 $n=1$のケースを超えて、Kac-Wakimoto特徴$\operatorname{tr}_{L_{m,n}(\Lambda_{(\ell)})}q^{L_0}$に対して明示的な漸近展開を導出可能か。
• RQ4 $\tau \to 0^+$のとき、特徴はどのように漸近的に振る舞い、主要項はどのように決定されるか。

主な発見

• Kac-Wakimoto特徴$\operatorname{tr}_{L_{m,n}(\Lambda_{(\ell)})}q^{L_0}$が、本稿で導入された新しい自己形式的対象「深さ$n$のほぼ調和マース形式」の正則部分として本質的に記述されることを示した。
• 特徴の漸近展開は、$t \to 0^+$において、$\operatorname{tr}_{L_{m,n}(\Lambda_{(\ell)})}q^{L_0} = e^{\frac{\pi t}{12}(n-m+1)+\frac{\pi}{12t}(m+2n-1)} \frac{\sqrt{t}}{2^n} \left( \sum_{r=0}^{N} a_r(m,n,\ell) \frac{t^r}{r!} + O(t^{N+1}) \right)$で与えられる。
• 展開における係数$a_r(m,n,\ell)$は、モーメント$\widetilde{\mathcal{E}}_{k,n} = \int_{\mathbb{R}} \frac{x^k}{\cosh(\pi x)^n} dx$によって決定され、部分積分を用いて導出された再帰関係を満たす。
• $n=1$および$n=2$の場合、モーメント$\widetilde{\mathcal{E}}_{k,n}$は、$\int_{\mathbb{R}} \frac{x^k}{\cosh(\pi x)} dx = (-2i)^{-k} E_k$および$\int_{\mathbb{R}} \frac{x^k}{\cosh(\pi x)^2} dx = \frac{2i^{-k}}{\pi} B_k(\frac{1}{2})$として、オイラー数およびベルヌーイ数と明示的に関係づけられる。
• 漸近展開の誤差項は、$\int_0^{1/2t} e^{\pi(n-m)t u^2 + \pi u} du$の積分を評価することで制御され、$\exp(-\pi/t)$要因を考慮した後、誤差項に寄与する。