[論文レビュー] Almost Kahler forms on rational 4-manifolds

Tianjun Li, Weiyi Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有理的4次元多様体上のtamedな almost complex 構造に対して、Taubesの部分多様体–電流–形式技法をJ-効果的で genus 0 の類にまで拡張することにより、Donaldsonの「tamed から compatible への問い」を解決する。$S^2 \times S^2$ および $\mathbb{CP}^2\#k\overline{\mathbb{CP}^2}$（$k \geq 2$）上で、$k$ 個の互いに素な $-1$-曲線をもつ tamed な almost complex 構造がすべて almost Kähler であることを証明し、擬補間多様体とTaubes電流を用いて、対応する symplectic 形式の存在を確立する。

ABSTRACT

We study Nakai-Moishezon type question and Donaldson's "tamed to compatible" question for almost complex structures on rational four manifolds. By extending Taubes' subvarieties--current--form technique to $J-$nef genus $0$ classes, we give affirmative answers of these two questions for all tamed almost complex structures on $S^2$ bundles over $S^2$ as well as for many geometrically interesting tamed almost complex structures on other rational four manifolds, including the del Pezzo ones.

研究の動機と目的

• 有理的4次元多様体上のtamedな almost complex 構造に対して、Donaldsonの「tamed から compatible への問い」を解決すること。
• 非可積分的 almost complex 幾何学におけるJ-効果的で genus 0 の類に、Taubesの部分多様体–電流–形式技法を拡張すること。
• 幾何的条件下で、$S^2 \times S^2$ および $\mathbb{CP}^2\#k\overline{\mathbb{CP}^2}$ 上のtamedな $J$ に対して、対応する symplectic 形式（すなわち almost Kähler 構造）の存在を確立すること。
• almost Kähler 錐を特徴づけ、Taubes電流と擬補間多様体のモジュライ空間を通じて、Kähler 錐および symplectic 錐と関連付けること。

提案手法

• 非可積分的 almost complex 構造におけるJ-効果的で genus 0 の類に、Taubesの部分多様体–電流–形式技法を拡張する。
• 大規模なJ-効果的類における既約な擬補間多様体のモジュライ空間を用い、パンチュアの族から弱いTaubes電流を構成する。
• 陰関数定理を用い、法作用素 $D_C$ の核を介して、部分多様体の近傍でモジュライ空間を線形化する。
• 局所的な面積の上限と指数写像を用い、小さな球内での滑らかな曲線の近傍における部分多様体を分析する。
• genus 0 の部分多様体の族を統合し、それらを正規化してJ不変形式へと変換することで、Taubes電流を構成する。
• $\mathbb{CP}^2$ のブ lows-up に関する帰納法を用い、$K$-sphere 錐 $\mathcal{S}_K^+$ と $K$-symplectic 錐 $P_K$ の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^2 \times S^2$ 上のすべてのtamedな almost complex 構造は almost Kähler であるか？
• RQ2 $\mathbb{CP}^2\#k\overline{\mathbb{CP}^2}$（$k \geq 2$）上で、tamed な almost complex 構造が $k$ 個の互いに素な $-1$-曲線をもつとき、どのような条件下で almost Kähler になるか？
• RQ3 部分多様体–電流–形式技法を非可積分的 almost complex 幾何学におけるJ-効果的で genus 0 の類にまで拡張可能か？
• RQ4 大規模なJ-効果的類 $e$ における genus 0 の擬補間多様体のモジュライ空間 $\mathcal{M}_e$ は $\mathbb{CP}^{e\cdot e + 1}$ と同相か？
• RQ5 有理的4次元多様体上での $K$-sphere 錐 $\mathcal{S}_K^+$ と $K$-symplectic 錐 $P_K$ の関係はいかなるものか？

主な発見

• $S^2 \times S^2$ 上のすべてのtamedな almost complex 構造は almost Kähler であり、この多様体についての「tamed から compatible への問い」が確認された。
• $\mathbb{CP}^2\#k\overline{\mathbb{CP}^2}$（$k \geq 2$）において、$k$ 個の互いに素な $-1$-曲線をもつ任意のtamedな $J$ は almost Kähler である。
• 大規模な $J$-効果的類 $e$ における genus 0 の部分多様体のモジュライ空間 $\mathcal{M}_e^{x,\Omega}$ は $S^2$ と同相であり、パンチュアの豊富さを示している。
• すべての有理的4次元多様体、特に $k \leq 8$ の $\mathbb{CP}^2\#k\overline{\mathbb{CP}^2}$ において、$K$-sphere 錐 $\mathcal{S}_K^+$ と $K$-symplectic 錐 $P_K$ は等しい。
• $k \geq 9$ に対しては、$P_K$ の境界面と $M_{l-1}$ の対応関係を用いた帰納法により、$\mathcal{S}_K^+ = P_K$ が成り立つ。
• genus 0 の部分多様体からTaubes電流を構成することは、Kodaira埋め込みのヒューリスティックな類似を示しており、正則埋め込みの非可積分的アナログを示唆する。