[論文レビュー] The Calabi-Yau equation, symplectic forms and almost complex structures

Valentino Tosatti, Ben Weinkove|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 31被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、4次元の非可積分なほぼ複素構造と同調するシンプレクティック形式に対するカルラヤウ方程式の解の存在に関するドナルドソンの予想を検討する。調和写像の単調性公式を用いて、計量テンソルのトレースに関する新しい局所 $L^1$-バウンドを確立し、これが主要な $C^0$ 評価を意味し、解の $C^∞$ 正則性の予想を支持する。

ABSTRACT

We discuss a conjecture of Donaldson on a version of Yau's Theorem for symplectic forms with compatible almost complex structures and survey some recent progress on this problem. We also speculate on some future possible directions, and use a monotonicity formula for harmonic maps to obtain a new local estimate in the setting of Donaldson's conjecture.

研究の動機と目的

• 4次元において、非可積分なほぼ複素構造と同調するシンプレクティック形式に対するカルラヤウ方程式の解の存在に関するドナルドソンの予想を調査すること。
• 元来ケーラー幾何学で成立していたヤウの定理を、シンプレクティック形式およびほぼ複素構造の設定に拡張すること。
• ほぼケーラー潜在関数に関する新しい局所 $C^0$ 評価を確立すること。これは $C^∞$ バウンドを証明する上で極めて重要である。
• 解の爆発集合が実codimension 2以上である可能性を検討すること。これは $J$-正則曲線に対応する可能性がある。

提案手法

• ヤウのカルラヤウ定理の元々の証明で用いられた連続的変形法を、非ケーラー的でほぼ複素構造の設定に適応する。
• 調和写像の単調性公式を用いて、計量テンソル $\mathrm{tr}_g \tilde{g}$ の新しい $L^1$-バウンドを導出する。
• geodesic ball 上でのトレースの成長を制御するために、$L^1$ トレースバウンドと単調性不等式 (5.6) を併用する。
• $\tilde{\omega}^2 = \sigma$ であることに基づき、$\mathrm{tr}_g \tilde{g}$ と $\mathrm{tr}_{\tilde{g}} g$ の間で一様な制御が可能であり、ストークスの定理を用いて $L^1$ バウンドを確立できる。
• 定数が固定された幾何的データにのみ依存する、$\tilde{g}$-ラプラシアンの $\mathrm{tr}_g \tilde{g}$ に関する新しい微分不等式を導出する。
• 標準的なハーモニック写像理論における $\varepsilon$-正則性結果に類似した予想的結果を提示するが、$\tilde{g}$ 上での制御不能なソボレフ定数のため、標準的証明は失敗する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな4次元多様体に、たたくほぼ複素構造 $J$ が与えられたとき、与えられたシンプレクティック形式 $\Omega$ とコhomologous なシンプレクティック形式 $\tilde{\omega}$ に対して、カルラヤウ方程式 $\tilde{\omega}^2 = \sigma$ が解をもつかどうか。
• RQ2 カルラヤウ方程式の解の爆発集合は、実codimension 2以上であり、$J$-正則曲線として表現可能であろうか。
• RQ3 幾何的単調性公式を用いて、ほぼケーラー潜在関数に関する新しい $C^0$ 評価を導出可能であろうか。
• RQ4 標準的ハーモニック写像技法が失敗するにもかかわらず、非ケーラー設定において、トレース $\mathrm{tr}_g \tilde{g}$ のための実用的な $\varepsilon$-正則性結果が存在するであろうか。
• RQ5 ヤウの定理からの $C^\infty$ バウンドは、ほぼ複素構造およびシンプレクティック設定へどの程度まで拡張可能であろうか。

主な発見

• geodesic ball 上での $\mathrm{tr}_g \tilde{g}$ の $L^1$-ノルムに関する新しい単調性公式 (5.6) が、背景計量 $g$ のみに依存する形で確立された。
• 系 5.1 は、カルラヤウ方程式 $\tilde{\omega}^2 = \sigma$ の下で、すべての $p \in M$ および十分小さい $r > 0$ に対して $\int_{B_g(p,r)} \mathrm{tr}_g \tilde{g} \, dV_g \leq C r^2$ が成り立つことを証明する。
• $L^1$ トレースバウンド (5.9) は、単調性公式とストークスの定理による $\mathrm{tr}_{\tilde{g}} g$ の一様 $L^1$ バウンドを組み合わせて導出された。
• 小規模な球上で $\mathrm{tr}_g \tilde{g}$ は $L^1$-ノルムにおいて一様に制御可能であり、解の爆発集合がcodimension 2以上である可能性を示唆する。
• 予想的 $\varepsilon$-正則性推定が提示されたが、これは局所的な $C^0$ バウンドを意味するが、$\tilde{g}$ 上での制御不能なソボレフ定数のため、標準的ハーモニック写像戦略は失敗する。
• $\tilde{\Delta} \mathrm{tr}_g \tilde{g} \geq -C_2 - C_3 (\mathrm{tr}_g \tilde{g})^2$ という微分不等式が用いられ、定数は固定されたデータにのみ依存する。これは高次の正則性への道筋を示唆する。