[論文レビュー] Almost minimax sequential tests of composite hypotheses

Georgios Fellouris, Alexander G. Tartakovsky|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Advanced Statistical Process Monitoring被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、混合ベースおよび重み付き一般化尤度比統計量を用いた複合仮説に関する逐次検定を提案し、期待されるサンプルサイズとカルバック・ライバラー情報量の最小化において漸近的最適性を示している。適切に選ばれた重みを用いることで、近似的にミニマックス性能とロバストな挙動を達成でき、同一設計下では両者のバリエーションが同等に機能する。

ABSTRACT

We consider the problem of sequentially testing a simple null hypothesis versus a composite alternative hypothesis that consists of a finite set of densities. We study sequential tests that are based on thresholding of mixture-based likelihood ratio statistics and weighted generalized likelihood ratio statistics. It is shown that both sequential tests have several asymptotic optimality properties as error probabilities go to zero. First, for any weights, they minimize the expected sample size within a constant term under every scenario in the alternative hypothesis and at least to first order under the null hypothesis. Second, for appropriate weights that are specified up to a prior distribution, they minimize within an asymptotically negligible term a weighted expected sample size in the alternative hypothesis. Third, for a particular prior distribution, they are almost minimax with respect to the expected Kullback-Leibler divergence until stopping. Furthermore, based on high-order asymptotic expansions for the operating characteristics, we propose prior distributions that lead to a robust behavior. Finally, based on asymptotic analysis as well as on simulation experiments, we argue that both tests have the same performance when they are designed with the same weights.

研究の動機と目的

• 誤差確率がゼロに近づく際、漸近的に最適な逐次検定手順を開発すること。
• 帰無仮説下で一階まで、および対立仮説のすべてのシナリオにおいて、期待されるサンプルサイズを定数項の範囲で最小化すること。
• 適切な事前分布に基づく重みを用いることで、対立仮説下での重み付き期待サンプルサイズを最小化すること。
• 停止までの期待カルバック・ライバラー情報量に関するほぼミニマックス性を確立すること。
• 安定した性能を確保するための高次漸近展開を用いたロバストな事前分布の提案。

提案手法

• 混合ベース尤度比統計量のしきい値を用いて逐次検定を構築する。
• 重み付き一般化尤度比統計量を検定の根拠とし、重みは事前分布から導出する。
• 高次漸近展開を用いて運用特性を分析し、ロバストな事前分布を導出する。
• 対立仮説下で期待サンプルサイズを最小化するとともに、帰無仮説下でカルバック・ライバラー情報量を最小化するように検定を設計する。
• 同一の重みを用いた場合に、混合ベースおよび重み付き一般化尤度比検定の性能を比較する。
• 理論的漸近的結果の妥当性を検証するため、シミュレーション実験を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合ベース尤度比に基づく逐次検定は、期待されるサンプルサイズの最小化において漸近的最適性を達成できるか？
• RQ2 適切な事前分布に基づく重みを用いることで、重み付き期待サンプルサイズは最小化可能か？
• RQ3 停止までの期待カルバック・ライバラー情報量に関して、検定をほぼミニマックスに設計できるか？
• RQ4 高次漸近展開は、ロバストな事前分布の選定にどのように寄与するか？
• RQ5 同じ重みを用いて設計された場合、混合ベースおよび重み付き一般化尤度比検定は同等の性能を示すか？

主な発見

• 混合ベースおよび重み付き一般化尤度比検定の両方とも、すべての対立仮説シナリオにおいて期待サンプルサイズを定数項の範囲で最小化し、帰無仮説下では一階まで最小化する。
• 事前分布まで指定された重みを用いることで、対立仮説下での重み付き期待サンプルサイズは、漸近的に無視できる項の範囲で最小化される。
• 特定の事前分布を用いる場合、停止までの期待カルバック・ライバラー情報量に関して、検定はほぼミニマックス性を満たす。
• 高次漸近展開により、さまざまなシナリオにわたるロバストな性能を保証する事前分布が導出される。
• シミュレーション実験および漸近的分析の両方で、同じ重みを用いて設計された場合、両検定の性能が同一であることが確認された。
• 提案された検定は、サンプルサイズと情報量の最小化という複数の基準において、強力な漸近的最適性を達成している。