[論文レビュー] Nearly Minimax Mixture Rules for One-sided Sequential Testing

Georgios Fellouris, Alexander G. Tartakovsky|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、最大のカルバック・ライブラー情報量を最小化するように混合分布を最適化することにより、片側逐次仮説検定におけるほぼミニマックス混合ルールを開発する。有限の代替仮説に対しては、特定の混合分布を構築してほぼミニマックス性能を達成する。連続的な指数型族の代替仮説に対しては、Pollakの結果を拡張し、連続的混合ルールの3次漸近的ミニマックス性を示す。

ABSTRACT

We study the behavior of mixture stopping rules in the one-sided sequential hypothesis testing problem with a simple null hypothesis and a composite alternative hypothesis. When the alternative hypothesis consists of a finite set of probability measures, we show how to select a par ticular mixing distribution in order to obtain a nearly minimax mixture test in the sense of minimizing the maximal Kullback-Leibler information. When the alternative hypothesis consists of a continuum of probability measures from a one-parameter exponential family, we extend the results of Pollak (1978) showing that there exists a mixing density such that the corresponding continuous mixture rule is not only second-order, but also third-order asympto tically minimax.

研究の動機と目的

• 単純な帰無仮説と複合代替仮説の下で、片側逐次検定においてほぼミニマックスとなる混合停止ルールを開発すること。
• 代替仮説が確率測度の有限集合からなる場合の最適な混合分布を同定すること。
• 1パラメータ指数族における連続的代替仮説に対して、既存の2次ミニマックス性の結果を3次漸近的ミニマックス性へ拡張すること。
• 代替仮説空間全体における最大のカルバック・ライブラー情報量を最小化すること。

提案手法

• 代替仮説の上での特定の混合分布を選択することで、混合停止ルールを構築し、最悪ケースのカルバック・ライブラー情報量を最小化する。
• 逐次分析および情報理論の技術を用いて、最悪代替仮説下での混合ルールの性能を分析する。
• 離散的代替仮説に対するPollak（1978）の枠組みを、漸近的解析を用いて連続的指数族へ拡張する。
• 2次および3次漸近的展開を用いて、連続的混合ルールのミニマックス行動を特徴付ける。
• 選択された混合密度が、2次だけでなく3次的にも漸近的にミニマックスであることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の代替仮説集合を有する片側逐次検定において、どのようにすればほぼミニマックス性能を達成する混合ルールを設計できるか？
• RQ2 有限の代替仮説ケースにおいて、最大のカルバック・ライブラー情報量を最適に最小化する混合分布は何か？
• RQ3 混合ルールの2次ミニマックス性は、1パラメータ指数族の連続的代替仮説において3次に拡張可能か？
• RQ4 1パラメータ指数族における代替仮説の連続体に対して、3次漸近的ミニマックス性を達成する連続的混合ルールは存在するか？

主な発見

• 代替確率測度の有限集合に対しては、特定の混合分布を選択することで、最大のカルバック・ライブラー情報量に関してほぼミニマックスとなる混合検定を達成できる。
• 1パラメータ指数族で代替仮説が連続的である場合、対応する連続的混合ルールが3次漸近的にミニマックスとなるような混合密度が存在する。
• 提案された混合ルールは、代替仮説空間全体における最悪ケースの情報理論的リスクを最小化することで、改善された性能保証を達成する。
• 結果として、Pollak（1978）の2次ミニマックス結果が、連続的設定における3次漸近的ミニマックス性へ拡張された。