[論文レビュー] Almost normal operators mod Hilbert-Schmidt and the K-theory of the Banach algebras $E\Lambda(\Omega)$

Dan-Virgil Voiculescu|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト＝シュミット作用素を法とするほぼ正規作用素を研究するため、Banach ∗-代数 $E\Lambda(\Omega)$ を導入し、そのK理論とPincusのg関数との間の関係を確立する。$E\Lambda(\Omega)$ がその理想 $K\Lambda(\Omega)$ の二重双対に等長同型であることを示し、コロナ代数 $E\Lambda(\Omega)/K\Lambda(\Omega)$ がC∗-代数であることも示す。主な結果は、ヒルベルト＝シュミット作用素を法とするBDF型定理が、g関数を介して $E\Lambda(\Omega)$ のK理論が $L^1_{\text{re}}(\Omega, \lambda)$ に同型であることと同値であるということである。

ABSTRACT

Is there a mod Hilbert-Schmidt analogue of the BDF-theorem, with the Pincus g-function playing the role of the index ? We show that part of the question is about the K-theory of certain Banach algebras. These Banach algebras, related to Lipschitz functions and dirichlet algebras have nice Banach space duality properties. Moreover their corona algebras are C*-algebras.

研究の動機と目的

• ヒルベルト＝シュミット作用素を法とするBDF定理の類似を確立し、インデックスの代わりにPincusのg関数を用いる。
• トレースクラスの自己可換子を有する作用素（正規作用素の圧縮から生じる）をモデルとするBanach代数 $E\Lambda(\Omega)$ のK理論を調査する。
• ほぼ正規作用素がヒルベルト＝シュミット作用素を法として分類される際の正規拡大の役割を明確にする。
• コロナ代数 $E\Lambda(\Omega)/K\Lambda(\Omega)$ がC∗-代数であることを示すが、基礎となる代数はC∗-代数ではない。
• $K_0(E\Lambda(\Omega))$ の整数性の性質が正規拡大を妨げる可能性があるかどうかを検討し、拡大問題に対する否定的解答の可能性を提示する。

提案手法

• $L^2(\Omega, \lambda)$ 内の作用素で、リプシッツ関数による乗法作用素と可換子がヒルベルト＝シュミット作用素であるものとして $E\Lambda(\Omega)$ を定義する。
• $E\Lambda(\Omega)$ 内のコンパクト作用素の理想 $K\Lambda(\Omega)$ がディリクレ代数であり、$E\Lambda(\Omega)$ の前双対に等長同型であることを確立する。
• 双対性ペアリング $\mathrm{Tr}(T x + [Z, T] y)$ を用いて、$E\Lambda(\Omega)$ が $K\Lambda(\Omega)$ の二重双対に同型であることを同定する。
• ヒルベルト空間作用素のノルム的アイデアル摂動に関する結果を応用し、$K\Lambda(\Omega)$ 内に有界な近似単位（射影からなる）を構成する。
• $E\Lambda(\Omega)$ および $E\Lambda(\Omega)_0$（有界な $\Omega$ における帰納的極限）のK理論を分析し、Pincusのg関数を $L^1_{\text{re}}(\Omega, \lambda)$ への同型写像の候補として用いる。
• $E\Lambda(\Omega)$ がC∗-代数でないにもかかわらず、コロナ代数 $E\Lambda(\Omega)/K\Lambda(\Omega)$ がC∗-代数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト＝シュミット作用素を法とするほぼ正規作用素について、Pincusのg関数がインデックスの役割を果たすBDF型分類定理は存在するか？
• RQ2 $E\Lambda(\Omega)$ のK理論、特に $K_0(E\Lambda(\Omega))$ は、g関数が $L^1$-関数としての構造を反映しているか？
• RQ3 $K_0(E\Lambda(\Omega))$ の整数性の性質が、ほぼ正規作用素の正規拡大問題を妨げる可能性はあるか？
• RQ4 コロナ代数 $E\Lambda(\Omega)/K\Lambda(\Omega)$ の構造は何か？ また、$E\Lambda(\Omega)$ がC∗-代数でないにもかかわらず、なぜC∗-代数であるのか？
• RQ5 Borel集合 $\Omega_1$ と $\Omega_2$ 間のリプシッツ的同相写像が、$E\Lambda(\Omega)$ 及びそのコロナ代数に同型写像を誘導するか？

主な発見

• 双対性ペアリング $\mathrm{Tr}(T x + [Z, T] y)$ を通じて、代数 $E\Lambda(\Omega)$ は $E\Lambda(\Omega)$ 内のコンパクト作用素の理想 $K\Lambda(\Omega)$ の二重双対に等長同型である。
• $E\Lambda(\Omega)$ がC∗-代数でないにもかかわらず、コロナ代数 $E\Lambda(\Omega)/K\Lambda(\Omega)$ はC∗-代数である。
• ヒルベルト＝シュミット作用素を法とするBDF定理の問題は、Pincusのg関数を介して $E\Lambda(\Omega)_0$ のK理論が $L^1_{\text{re}}(\Omega, \lambda)$ に同型であることと同値である。
• 理想 $K\Lambda(\Omega)$ はディリクレ代数であり、導分 $\partial a = [X, a] \oplus [Y, a]$ によって誘導される完全正値性の持ちうる収縮のマルコフ半群を持つ。
• Borel集合 $\Omega_1$ と $\Omega_2$ 間のリプシッツ的同相写像は、$E\Lambda(\Omega_1)$ と $E\Lambda(\Omega_2)$ 間、およびそれらのコロナ代数間で $*$-同型写像を誘導する。
• コロナ代数 $(E/K)\Lambda(\Omega)$ の中心は未解決問題であるが、Calkin代数の双対中心問題に類似している。