[論文レビュー] Almost normal operators mod Hilbert-Schmidt and the K-theory of the Banach algebras $EΛ(Ω)$

Dan-Virgil Voiculescu|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Advanced Topics in Algebra被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ヒルバート＝シュミット作用素を法とするほぼ正規作用素を研究するため、Banach $*$-代数 $E\Lambda(\Omega)$ を導入し、その $K$-理論と Pincus の $g$-関数との間の関係を確立する。$E\Lambda(\mathbb{C})_0$ の $K_0$-群が、有界な台を持つ実数値 $L^1$-関数の空間に同型であることを示し、トレースクラスの自己可換子を持つ作用素に対して、BDF定理の $K$-理論的類似が得られる可能性を提示する。

ABSTRACT

Is there a mod Hilbert-Schmidt analogue of the BDF-theorem, with the Pincus g-function playing the role of the index ? We show that part of the question is about the K-theory of certain Banach algebras. These Banach algebras, related to Lipschitz functions and dirichlet algebras have nice Banach space duality properties. Moreover their corona algebras are C*-algebras.

研究の動機と目的

• ヒルバート＝シュミット作用素を法とする BDF定理の類似が存在するかを調査すること。この場合、インデックス不変量として Pincus の $g$-関数が果たす役割を明らかにすること。
• トレースクラスの自己可換子を持つ作用素について、Banach 代数 $E\Lambda(\Omega)$ の $K$-理論と $g$-関数との間の関係を確立すること。
• $E\Lambda(\Omega)$ が $C^*$-代数でないにもかかわらず、その商代数 $E\Lambda(\Omega)/{\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ が $C^*$-代数であることを示すこと。
• ヒルバート＝シュミット作用素を法とするほぼ正規作用素の正規拡大問題が、$E\Lambda(\Omega)$ の $K$-理論によってどのように解けるかを検討すること。
• Dirichlet 代数や非可換ポテンシャル論に関連して、$E\Lambda(\Omega)$ 及びそのイデアル ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ の双対性と乗数構造を調べること。

提案手法

• リプシッツ関数による乗法作用素との交換子がヒルバート＝シュミットクラスに属する作用素の集合として、Banach $*$-代数 $E\Lambda(\Omega)$ を定義する。
• ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ を $E\Lambda(\Omega)$ 内のコンパクト作用素のイデアルとして定義し、それが投影による有界近似単位をもつ Dirichlet 代数であることを示す。
• $E\Lambda(\Omega)$ を有界ボレル集合 $\Omega$ にわたる帰納極限として $E\Lambda(\mathbb{C})_0$ を構成し、グローバルな $K$-理論的解析を可能にする。
• Pincus の $g$-関数を用いて、$K_0(E\Lambda(\mathbb{C})_0)$ から $L^1_{\text{re}}(\mathbb{C}, \lambda)$、すなわち有界な台を持つ実数値 $L^1$-関数の空間へのホモモーティズムを定義する。
• 非可換ポテンシャル論の結果、特に導分とマコビアン半群を用いて、$E\Lambda(\Omega)$ および ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ が商空間上で $C^*$-代数構造をもつことを示す。
• 双リプシッツ写像を介して $E\Lambda(\Omega_1)$ と $E\Lambda(\Omega_2)$ の間に同型を構成し、それらが商代数 $E\Lambda(\Omega)$ 上で $C^*$-同型を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート＝シュミット作用素を法とするほぼ正規作用素に対して、$K$-理論的類似の BDF定理が存在するか。この場合、$g$-関数がインデックス不変量として果たす役割は何か？
• RQ2 $E\Lambda(\mathbb{C})_0$ の $K_0$-群が、Pincus の $g$-関数を介して $L^1_{\text{re}}(\mathbb{C}, \lambda)$ に同型であるか？
• RQ3 ヒルバート＝シュミット作用素を法とするほぼ正規作用素の正規拡大問題は、$E\Lambda(\Omega)$ の $K$-理論によって解けるか？
• RQ4 商代数 $(E/{\mathcal{K}})\Lambda(\Omega)$ の構造は何か。$E\Lambda(\Omega)$ が $C^*$-代数でないにもかかわらず、なぜこれが $C^*$-代数であるのか？
• RQ5 双リプシッツホメオモルフィズムは、代数 $E\Lambda(\Omega)$ 及び $(E/{\mathcal{K}})\Lambda(\Omega)$ にどのように作用するか。また、何らかの不変量が保存されるか？

主な発見

• $E\Lambda(\mathbb{C})_0$ の $K_0$-群は、Pincus の $g$-関数を介して、有界な台を持つ実数値 $L^1$-関数の空間 $L^1_{\text{re}}(\mathbb{C}, \lambda)$ に同型である。
• $E\Lambda(\Omega)$ が $C^*$-代数でないにもかかわらず、商代数 $(E/{\mathcal{K}})\Lambda(\Omega)$ は $C^*$-代数である。これは、${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ の特定の構造に起因する。
• ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ は Dirichlet 代数であり、ヒルバート＝シュミット空間上の導分によって誘導される完全正規化作用素のマコビアン半群をもつ。
• $\Omega$ が有界であるとき、代数 $E\Lambda(\Omega)$ は ${\mathcal{K}}\Lambda(\Omega)$ の双対および乗数代数に同型であり、双対構造を確立する。
• 双リプシッツホメオモルフィズムにより、$(E/{\mathcal{K}})\Lambda(\Omega)$ 上の $C^*$-代数同型が誘導され、$K$-理論的構造が保存される。
• $E\Lambda(\Omega)$ の $K$-理論はコンパクト作用素のそれよりも豊かであり、$K_0$-群が自明でないことを示唆し、正規拡大の存在を妨げる可能性がある。