[論文レビュー] Almost periodic invariant tori for the NLS on the circle

Luca Biasco, Jessica Elisa Massetti+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、作用量-角度座標を用いず、楕円的（フーリエ）変数上で直接作用する、新しいKAM型アプローチを用いて、円周上での非線形シュレーディンガー方程式におけるほぼ周期的不変トーラスの存在および線形安定性を確立する。統一的で次元に依存しない枠組みと、エルマン風の補正項定理を導入することで、微小摂動下における有限次元および無限次元トーラスの保存が証明され、翻訳不変でない設定への拡張が可能となり、Gevrey正則性を有する解が得られる。

ABSTRACT

In this paper we study the existence and linear stability of almost periodic solutions for a NLS equation on the circle with external parameters. Starting from the seminal result of Bourgain (2005) on the quintic NLS, we propose a novel approach allowing to prove in a unified framework the persistence of finite and infinite dimensional invariant tori, which are the support of the desired solutions. The persistence result is given through a rather abstract "counter-term theorem" `a la Herman, directly in the original elliptic variables without passing to action-angle ones. Our framework allows us to find "many more" almost periodic solutions with respect to the existing literature and consider also non-translation invariant PDEs.

研究の動機と目的

• 外部パラメータを伴う円周上でのNLS方程式におけるほぼ周期的解の存在および線形安定性を確立すること。
• 無限次元において定義されない作用量-角度座標に依存する従来のKAMアプローチの制限を克服すること。
• 有限次元および無限次元の不変トーラスの両方の保存を、一度の次元に依存しないアルゴリズムで証明する統一的フレームワークを構築すること。
• 標準的なシンプレクティック座標が失敗する非翻訳不変NLS方程式へ理論を拡張するために、元の楕円的（フーリエ）変数上で直接作業すること。
• シンプレクティック座標変換を回避する元の変数における補正項定理を提供することで、より広い適用可能性と小分母に対するより良い制御を実現すること。

提案手法

• 作用量-角度座標を回避する、元の楕円的変数における新しい補正項定理を提案する。
• 作用量を原点回りの球内に制限する関数的設定を導入し、従来の研究が直面する零測度制約を回避する。
• トーラスの次元に一様に有効なKAM反復を適用することで、有限次元および無限次元トーラス上での解の構成が可能になる。
• KAMスキームにおける補正項を解くためにホモロジー方程式を用い、周波数推定を用いた小分母の精密な制御を実施する。
• 測度論的議論により、許容可能なパラメータの集合が正の測度を持つことを示し、大多数の選択肢に対して解の存在を保証する。
• 不変多様体が無限次元トーラスとして埋め込まれることを確立し、それらの近傍で作用量-角度変数を定義できるかを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用量-角度座標に依存せずに、円周上でのNLS方程式におけるほぼ周期的解の保存を証明できるか？
• RQ2 一度の次元に依存しないKAMフレームワーク内で、有限次元および無限次元の不変トーラスを同時に構成できるか？
• RQ3 標準的なシンプレクティック座標が失敗する非翻訳不変NLS方程式へ、この方法を拡張できるか？
• RQ4 得られたほぼ周期的解の正則性クラスは何か？ そして、従来の結果と比べてどのように異なるか？
• RQ5 不変多様体が適切な条件下で無限次元トーラスに同相写像可能である条件は何か？ また、それらの近傍で作用量-角度変数を定義できるか？

主な発見

• 著者らは、Gevrey正則性を有するほぼ周期的解の存在を証明し、ボアーゲンの結果をより広い方程式のクラスへ拡張する。
• KAMアルゴリズムはトーラスの次元に一様に有効であり、有限次元および無限次元不変トーラス上での解の構成を可能にする。
• 作用量-角度座標を完全に回避し、フーリエ基底上で直接作業し、元の変数における補正項定理を用いる。
• 解が存在する外部パラメータの集合は正の測度を持ち、非翻訳不変NLS方程式に対しても適用可能である。
• 適切な条件下で不変多様体が無限次元トーラスに同相写像可能であることが示され、それらの近傍で作用量-角度変数を定義できるかの可能性が分析されている。
• 許容可能なパラメータの集合の測度推定は、リプシッツ変動の議論により制御され、正の測度の解の集合が得られる。