[論文レビュー] KAM for quasi-linear forced hamiltonian NLS

Roberto Feola|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、トーラス上における準線形ハミルトニアンNLS方程式に対して、準周期的で線形安定な、小振幅の準周期的解の存在を、ナッシュ＝モーザー型スキームと線形化作用素のKAM型還元を組み合わせることで確立する。主な貢献は、微分同相写像、擬微分作用素、およびKAM反復を用いた線形化作用素のブロック対角化であり、複数の固有値と一階空間微分を含む非有界非線形性に起因する課題を克服する。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of quasi-periodic, small-amplitude, solutions for quasi-linear Hamiltonian perturbations of the non-linear Schroedinger equation on the torus in presence of a quasi-periodic forcing. In particular we prove that such solutions are linearly stable. The proof is based on a Nash-Moser implicit function theorem and on a reducibility result on the linearized operator in a neighborhood of zero. The proof of the reducibility relies on changes of coordinates such as diffeomorphisms of the torus, pseudo-differential operators and a KAM-reducibility arguments. Due to the multiplicity of the eigenvalues we obtain a block-diagonalization.

研究の動機と目的

• トーラス上における準周期的で小振幅の、線形安定な解の存在を、準線形ハミルトニアンNLS方程式に対して、準周期的強制力が作用する条件下で確立すること。
• 一階空間微分を含む非有界非線形性（すなわち、δ = n）に起因する課題に対処すること。
• 線形化作用素における複数の固有値の存在が、標準的なKAM還元を不可能にする困難を克服すること。
• 半線形および非臨界定常非有界摂動に対する従来のKAM結果を、完全な微分依存性を有する臨界定常準線形NLS方程式への拡張すること。
• 微分同相写像、擬微分作用素、およびKAM反復を用いて、零の近傍における線形化作用素の還元性スキームを構築すること。

提案手法

• 無限次元方程式に対する準周期的解を求めるために、周波数ωをパラメータとするナッシュ＝モーザー型暗黙関数定理を適用する。
• 線形化作用素を、トーラス上の微分同相写像と擬微分作用素による共役を含む、KAM型変換の逐次的適用によって定数係数に還元する。
• 還元プロセスは、固有値の重複性に起因するブロック対角構造を活用し、反復的対角化を可能にする。
• 小分母の制御を保証するため、周波数ベクトルωに対する非退化条件（ディオファントス条件）を課す。
• 線形化作用素の正則化と、定数係数形に共役した後のネイマン級数による逆演算に依存する。
• Sobolevノルム、時間正則性のための重み付きノルム、および擬微分作用素の合成則を用いて、技術的推定を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス上における準周期的で小振幅の解が、準周期的強制力が作用する準線形ハミルトニアンNLS方程式に対して存在しうるか？
• RQ2 複数の固有値と非有界非線形性が存在する状況下で、線形化作用素を定数係数に還元するにはどうすればよいか？
• RQ3 一階微分を含む非線形性を有する準線形PDEを扱うために、古典的KAMまたはナッシュ＝モーザー枠組みにどのような修正が必要か？
• RQ4 このような摂動の下で、解が線形安定であることを証明できるか？
• RQ5 トーラス上の微分同相写像と擬微分作用素の計算が、線形化作用素の還元性を達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、周波数ベクトルωがディオファントス条件を満たす場合に、強制された準線形NLS方程式に対して準周期的で小振幅の解の存在を証明する。
• 解は線形安定である。これは、解の周囲における線形化作用素が、小さな剰余項を伴って定数係数に還元可能であるためである。
• 還元性は、線形化作用素における固有値の重複性を考慮したブロック対角化プロセスによって達成される。
• 本手法は、一階空間微分を含む非有界非線形性（δ = n）を効果的に扱うことができ、従来のKAM理論ではカバーされていなかった臨界定常ケースをカバーする。
• ナッシュ＝モーザースキームは、時間に依存する摂動を伴うハミルトニアン設定に適応され、パラメータ依存の可逆性を持つ一般化された暗黙関数定理を用いる。
• 周波数集合の測度推定値が提供され、解が成り立つ適切な周波数ωの正の測度を持つことを保証する。