[論文レビュー] Almost strong mixing group actions in topological dynamics

Jane Wang|arXiv (Cornell University)|May 23, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、位相的力学系において、群作用が厚さを持つ強い混合（すなわち、群の厚い部分集合上で強い混合である）であることと、すべてのkに対してk-推移的であることとは同値であることを確立している。アーベル群の場合、弱い混合性は厚さを持つ強い混合性を含意し、これは密度1における強い混合性に関する古典的エルゴディック理論の結果の位相的類似物である。主な貢献は、厚さを持つ強い混合性と完全なk-推移的性の間の同値性であり、部分群不変性や非アーベルな反例への影響を含む。

ABSTRACT

In ergodic theory, given sufficient conditions on the system, every weak mixing $\mathbb{N}$-action is strong mixing along a density one subset of $\mathbb{N}$. We ask if a similar statement holds in topological dynamics with density one replaced with thickness. We show that given sufficient initial conditions, a group action in topological dynamics is strong mixing on a thick subset of the group if and only if the system is $k$-transitive for all $k$, and conclude that an analogue of this statement from ergodic theory holds in topological dynamics when dealing with abelian groups.

研究の動機と目的

• 弱い混合性を示す位相的力学系が、密度1における強い混合性の結果に類似した形で『ほとんど』強い混合性を示すかどうかを同定すること。
• 一般の群作用において、エルゴディック理論における密度1という概念を、位相的力学系における厚さという概念に置き換えること。
• 弱い混合性が非アーベル群やバージョンアーベル群においても、厚さを持つ強い混合性を含意するかどうかを調査すること。
• 有限指数部分群における混合性の性質が、位相的力学系においてどのように振る舞うかを検討すること。
• 厚さを持つ強い混合性、k-推移的性、および弾性の間の関係を明確化すること。

提案手法

• 任意の有限部分集合Fに対して、F⁻¹γ₀ ⊆ Nを満たすγ₀が存在する集合として、位相群における厚さ集合を定義し、ℕにおける密度1の一般化とする。
• 群Γの厚い部分集合上で強い混合性を示す、厚さを持つ強い混合性という概念を導入する。
• k個の開集合を同時に混合するというk-推移的性の概念を、厚さを持つ強い混合性を特徴付ける中心的な道具として用いる。
• 位相的および群論的議論を用いて、厚さを持つ強い混合性がすべてのkに対してk-推移的であることと同値であることを証明する。
• 補題5.5を適用して、有限指数部分群上でk-推移的であれば、全体の群上でもk-推移的であることを示す。
• 反例を用いて、弱い混合性が有限指数部分群に「降りる」わけではないが、厚さを持つ強い混合性はそうであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的力学系における弱い混合性は、エルゴディック理論における密度1の結果に類似して、群の厚い部分集合上で強い混合性を含意するか？
• RQ2 非アーベル群においても、弱い混合性と厚さを持つ強い混合性の同値性が成り立つか、それともアーベル群に限るのか？
• RQ3 エルゴディック理論と同様に、弱い混合性の性質が位相的力学系において有限指数部分群に「降りる」のか？
• RQ4 位相的系において、厚さを持つ強い混合性はすべてのkに対してk-推移的性と同値か？
• RQ5 厚さを持つ強い混合性と位相的力学系における弾性の性質との関係は何か？

主な発見

• 第二可算、ハウスドルフ空間および局所コンパクト、第二可算、非コンパクトな群をもつ位相的力学系において、厚さを持つ強い混合性はすべてのkに対してk-推移的性と同値である。
• アーベル群の場合、弱い混合性は厚さを持つ強い混合性を含意し、これはエルゴディック理論における密度1における強い混合性に関する結果の位相的類似物である。
• 弱い混合性は、位相的力学系において有限指数部分群に「降りる」わけではないが、エルゴディック理論とは異なり、これは成り立たない。
• 厚さを持つ強い混合性は有限指数部分群に「降りる」：群Γの作用(X,Γ)が厚さを持つ強い混合性であれば、任意の有限指数部分群N ≤ Γに対し、(X,N)も厚さを持つ強い混合性である。
• 2つの開集合に対して厚さを持つ強い混合性であることは、系における弾性の性質と同値である。
• 反例により、非アーベル群においても、群がバージョンアーベル的またはノルム的であっても、弱い混合性が厚さを持つ強い混合性を含意するとは限らないことが示された。