[論文レビュー] Almost sure asymptotics for the random binary search tree

Matthew I. Roberts|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダムな二分探索木の高さ $ H_n $ と飽和レベル $ h_n $ について、$ \log\log $ スケールでのほとんど確実な漸近的フラクチュエーションを確立する。$ \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} $ がほとんど確実に $ \frac{1}{2} $ と $ \frac{3}{2} $ の間を振動し、確率的に $ \frac{3}{2} $ に収束することを示している。さらに、木の端縁における粒子数 $ F_n $ がほとんど確実に有界でないことを証明し、端縁サイズの持続的成長を示している。

ABSTRACT

We consider a (random permutation model) binary search tree with n nodes and give asymptotics on the loglog scale for the height H_n and saturation level h_n of the tree as n o\infty, both almost surely and in probability. We then consider the number F_n of particles at level H_n at time n, and show that F_n is unbounded almost surely.

研究の動機と目的

• ランダム二分探索木の高さ $ H_n $ と飽和レベル $ h_n $ について、$ \log\log $ スケールでのほとんど確実な漸近的フラクチュエーションを導出すること。
• 高さ $ H_n $ と飽和レベル $ h_n $ の対数的成長からの正規化された偏差のほとんど確実な liminf と limsup の正確な挙動を確立すること。
• 端縁（高さ $ H_n $）における粒子数 $ F_n $ の長期的挙動を調査すること、特にそれが有界のままであるか、無限に成長するかを明らかにすること。
• 二分探索木と連続時間のYule分岐過程との間の関係を活用し、分岐ランダムウォークの結果を離散的木モデルに移行すること。
• 今後の $ F_n $ の漸近的分布の分析の基盤を提供すること、これは本稿では未解決の問題のままである。

提案手法

• ランダム二分探索木と連続時間におけるYule分岐過程との間のよく知られた対応関係を用いる。ここで各粒子はレート1で分岐し、分裂時に左に1ずつ移動する。
• Hu & Shi (2007) が得たYule過程における最小位置のほとんど確実な limsup と liminf の挙動に関する主要結果を応用し、$ H_n $ と $ h_n $ の漸近的性質を導出する。
• 正規化された偏差 $ \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} $ と $ \frac{\alpha h_n - \beta\log n}{\log\log n} $ を定義し、分岐ダイナミクスに関連する暗黙的方程式から得られる定数 $ a, b, \alpha, \beta $ を用いる。
• 強マルコフ性と指数的尾部推定を用いて、1本の系統が既存の粒子が分岐する前に端縁に到達する確率を抑え込む。
• 端縁粒子数 $ 2k $ に関する帰納的議論を用い、$ 2k $ 個の粒子が無限回出現するならば、確率1で $ 2k+2 $ 個の粒子も無限回出現することを示す。
• 時間変換までのパスの同値性を介して、連続時間Yule過程から離散的二分探索木へ結果を移行させ、$ F_n $ についてもほとんど確実な結論を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム二分探索木の高さ $ H_n $ について、$ \log\log $ スケールでのほとんど確実な liminf と limsup のフラクチュエーションは何か？
• RQ2 飽和レベル $ h_n $ と高さ $ H_n $ は、ほとんど確実にその対数的成長率からどの程度逸脱するか？
• RQ3 端縁（高さ $ H_n $）における粒子数 $ F_n $ は、ほとんど確実に有界であるか、それとも無限に成長するか？
• RQ4 Yule過程における粒子の移動と分岐のダイナミクスを用いて、離散的二分探索木の性質を推論できるか？
• RQ5 端縁に近い粒子から出た系統が、既存の粒子が分岐する前に端縁に到達する確率は何か？ そしてこれは $ F_n $ の成長にどのように影響するか？

主な発見

• 正規化された偏差 $ \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} $ は、ほとんど確実に $ \frac{1}{2} = \liminf_{n\to\infty} \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} < \limsup_{n\to\infty} \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} = \frac{3}{2} $ を満たす。ここで $ a \approx 0.76804 $、$ b \approx 3.31107 $ である。
• $ n \to \infty $ のとき、$ \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} $ は確率的に $ \frac{3}{2} $ に収束し、分布収束の観点から limsup 値への収束を確認する。
• 飽和レベル $ h_n $ について、正規化された偏差 $ \frac{\alpha h_n - \beta\log n}{\log\log n} $ も、ほとんど確実に $ \frac{1}{2} $ と $ \frac{3}{2} $ の間を振動する。ここで $ \alpha \approx 1.6783 $、$ \beta \approx 0.6266 $ である。
• 端縁における粒子数 $ F_n $ は、ほとんど確実に $ \limsup_{n\to\infty} F_n = \infty $ を満たし、端縁サイズが無限に成長することを示している。
• $ F_n $ の無限大性の証明は、$ 2k $ 個の粒子が端縁に存在する場合、その既存の $ 2k $ 個の粒子が分岐する前に2つの新しい粒子が端縁に到達する確率が正であり（0から一様に離れている）、その結果、$ 2k+2 $ 個の粒子が無限回出現することを示す。
• この結果は、$ k $ に関する帰納法を用い、強マルコフ性と指数モーメント推定を用いて、任意の有限な $ 2k $ を超える端縁サイズの再帰性を保証することで得られる。