[論文レビュー] Almost sure central limit theorems for random ratios and applications to LSE for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes

Peggy Cénac, Khalifa Es-Sebaiy|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2012

Probability and Risk Models参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、分子がASCLTを満たし、分母が1にほとんど確実に収束するような確率的比のほぼ確実中心極限定理（ASCLT）を確立する。この結果を応用して、ホワイト・ノイズ・パrameter $ H \in (1/2, 3/4) $ の分数オーナイズ・ウーレンバック過程における最小二乗推定量（LSE）のASCLTを証明する。連続的および離散的観測スキームの両方で有効である。

ABSTRACT

We investigate an almost sure limit theorem (ASCLT) for sequences of random variables having the form of a ratio of two terms such that the numerator satisfies the ASCLT and the denominator is a positive term which converges almost surely to 1. This result leads to the ASCLT for least square estimators for Ornstein-Uhlenbeck process driven by fractional Brownian motion.

研究の動機と目的

• 分子がASCLTを満たし、分母が1にほとんど確実に収束するような確率的比の一般化されたほぼ確実中心極限定理（ASCLT）を確立すること。
• この一般化された結果を応用して、分数 Browmian motion で駆動されるエルゴディックな分数オーナイズ・ウーレンバック過程における最小二乗推定量（LSE）のASCLTを導出すること。
• プロセスが等間隔の時刻で観測される場合、離散時間LSE $ \widetilde{\theta}_n $ が強収束性（すなわち、$ n \to \infty $ のとき $ \widetilde{\theta}_n \to \theta $ ほとんど確実に収束する）を示すこと。
• 異なる観測スキームおよび $ H \in (1/2, 3/4) $ の下でのLSEの漸近的挙動を分析すること。この範囲では極限定理が正規分布に収束する。
• Malliavin微積分と多重ストリート・インテグラルを用いて、離散ケースにおけるASCLTの成立に必要な条件を検証すること。

提案手法

• 分子 $ \{G_n\} $ がASCLTを満たし、$ R_n \to 1 $ ほとんど確実に収束するような比 $ G_n / R_n $ に対する一般化されたASCLTを構築する。
• 離散ケースにおける $ G_n $ の条件を検証するために、Malliavin微積分と特性関数収束によるASCLTの特徴付けを用いる。
• 推定誤差 $ \theta - \widetilde{\theta}_n $ を三つの項 $ J_1(n), J_2(n), J_3(n) $ に分解する。それぞれ、離散化誤差、伊藤補正項、確率積分項を表す。
• Hölderおよびコーシー＝シュワルツ不等式を用いて、$ J_1(n), J_2(n), J_3(n) $ の $ L^p $-ノルムを評価し、それらがほとんど確実にゼロに収束することを示す。
• $ \overline{R}_n \to 1 $ ほとんど確実に収束し、$ \overline{G}_n $ がASCLTを満たすことを用いて、正規化された比 $ \overline{G}_n / \overline{R}_n $ がASCLTを満たすことを導出する。これは正規化された推定誤差に対応する。
• 定理3および補題9を活用して、正規化された確率積分項 $ \sqrt{T_n / \mathbb{E}(F_{T_n}^2)} J_3(n) $ がASCLTを満たすことを示し、証明を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分子 $ G_n $ がASCLTを満たし、分母 $ R_n \to 1 $ ほとんど確実に収束するとき、確率的比 $ G_n / R_n $ がほぼ確実中心極限定理（ASCLT）を満たす条件は何か？
• RQ2 ホワイト・ノイズ・パrameter $ H \in (1/2, 3/4) $ の分数オーナイズ・ウーレンバック過程における漂移パrameter $ \theta $ の最小二乗推定量（LSE）は、ほぼ確実中心極限定理（ASCLT）を満たすか？
• RQ3 プロセスが等間隔の時刻で観測される場合、離散時間LSE $ \widetilde{\theta}_n $ は強収束性（すなわち、$ n \to \infty $ のとき $ \widetilde{\theta}_n \to \theta $ ほとんど確実に収束する）を満たすか？
• RQ4 離散ケースにおける正規化された推定誤差 $ \sqrt{T_n / \sigma_{T_n}^2} (\theta - \widetilde{\theta}_n) $ の漸近的分布は何か？
• RQ5 Malliavin微積分と推定誤差の確率的成分への分解を用いて、LSEのASCLTを確立できるか？

主な発見

• 本稿は、$ G_n $ がASCLTを満たし、$ R_n \to 1 $ ほとんど確実に収束するような確率的比 $ G_n / R_n $ に対する一般化されたASCLTを確立する。これは主要な技術的ツールである。
• 連続観測におけるLSE $ \widehat{\theta}_t $ に対して、$ H \in (1/2, 3/4) $ のとき、$ \sqrt{n}(\theta - \widehat{\theta}_n) $ がASCLTを満たすことが、定理8で示された。
• 離散時間LSE $ \widetilde{\theta}_n $ は強収束性を示す：$ \widetilde{\theta}_n \to \theta $ ほとんど確実に $ n \to \infty $ のとき、定理10で証明された。
• 離散ケースで $ H \in (1/2, 3/4) $ のとき、正規化された推定誤差 $ \frac{\sqrt{T_n}}{\sigma_{T_n}}(\theta - \widetilde{\theta}_n) $ がASCLTを満たすことが、定理11で述べられている。
• 証明は、推定誤差を三つの成分 $ J_1(n), J_2(n), J_3(n) $ に分解し、それぞれが $ L^p $-ノルムの評価と補題9を用いてほとんど確実にゼロに収束することを示すことで成り立つ。
• 正規化された確率積分項 $ \sqrt{T_n / \mathbb{E}(F_{T_n}^2)} J_3(n) $ は、定理3と条件(11)および(12)の検証により、ASCLTを満たすことが示された。