[論文レビュー] Alternated Hochschild Cohomology

Pierre Lecomte, Valentin Ovsienko|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Gerstenhaber括弧の部分的反対称化を用いて、奇数変数に関して反対称なコチェーンに、次数付きリーヒューリング代数構造を構成することにより、Lie反代数に対する新しいコホモロジー理論を導入する。主な貢献は、Hochschild型コホモロジーをLie反代数に対して定義し、Gelfand-FuchsおよびGodbillon-Vey類に類似する明示的な非自明なコサイクルを提示することで、これらの代数のコホモロジー的枠組みを確立することである。

ABSTRACT

In this paper we construct a graded Lie algebra on the space of cochains on a $\mathbbZ_2$-graded vector space that are skew-symmetric in the odd variables. The Lie bracket is obtained from the classical Gerstenhaber bracket by (partial) skew-symmetrization; the coboundary operator is a skew-symmetrized version of the Hochschild differential. We show that an order-one element $m$ satisfying the zero-square condition $[m,m]=0$ defines an algebraic structure called "Lie antialgebra". The cohomology (and deformation) theory of these algebras is then defined. We present two examples of non-trivial cohomology classes which are similar to the celebrated Gelfand-Fuchs and Godbillon-Vey classes.

研究の動機と目的

• 奇数変数に関して反対称なコチェーンに、新しい次数付きリーヒューリング代数構造を定義し、それによってLie反代数のコホモロジー理論を開発すること。
• Hochschild微分の反対称化を用いてコバウンダリー作用素δ = adₘを定義し、古典的コホモロジー理論を一般化すること。
• 第二および第一コホモロジー空間のコホモロジー的意義を、Lie反代数およびその加群の拡張分類の観点から確立すること。
• 無限次元リーヒューリング代数における有名なGelfand-FuchsおよびGodbillon-Vey類に類似する、明示的な非自明なコホモロジー類を構成すること。

提案手法

• Z2-次数付きベクトル空間上の多重線形写像に、奇数部に関して反対称な性質を持つものに対して、Gerstenhaber括弧の部分的反対称化を用いて次数付きリーヒューリング代数構造を構成する。
• 次数1の元mが[m, m] = 0を満たすように定義し、δ = adₘによるコバウンダリー作用素を定義することで、次数付きジャコビ恒等式からδ² = 0が保証される。
• 微分作用素に対して明示的な組合せ論的公式を導出し、Hochschild微分とChevalley-Eilenberg微分の間を滑らかに補間することを示す。
• Lie反代数を、偶数部で対称的で、奇数部で反対称的であるような二項写像mが[m, m] = 0を満たす代数として定義する。
• Lie反代数がその双対空間に作用することを用いて、1-コサイクルおよび2-コサイクルを構成し、明示的計算によりコサイクル条件を検証する。
• 第一コホモロジー空間H¹(𝒜𝕂(1); 𝒜𝕂(1)*)が1次元であり、非自明な1-コサイクルγ(εₙ) = -nε*₋ₙ、γ(aᵢ) = (i² - 1/4)a*₋ᵢによって生成されることを予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数変数に関して反対称なコチェーンに、どのように次数付きリーヒューリング代数構造を定義できるか。また、それとGerstenhaber代数およびNijenhuis-Richardson代数との関係は何か。
• RQ2 Lie反代数のコホモロジー理論とは何か。また、それはHochschildコホモロジーをどのように一般化するか。
• RQ3 Lie反代数の文脈において、Gelfand-FuchsおよびGodbillon-Vey類に類似する非自明なコホモロジー類を構成できるか。
• RQ4 第一および第二コホモロジー空間の代数的解釈は、Lie反代数およびその加群の拡張に関して何を意味するか。

主な発見

• Lie反代数𝒜𝕂(1)上の非自明な1-コサイクルγを、γ(εₙ) = -nε*₋ₙおよびγ(aᵢ) = (i² - 1/4)a*₋ᵢとして構成し、1-コサイクル条件を満たし、偶数部では消えることから、非自明性が示された。
• 1-コサイクルγは、予想ではH¹(𝒜𝕂(1); 𝒜𝕂(1)*)が1次元であり、γがその生成元であるとされ、偶数部で反対称的で、奇数部で対称的であるため、自明係数の2-コサイクルとは解釈できない。
• Lie反代数𝒟¹上に非自明な2-コサイクルηをη = a*₋₁⁄₂ ∧ a*₁⁄₂ ⊗ ε*₀として定義し、これはコバウンダリーではないとされ、第二コホモロジー空間が1次元であると予想される。
• 2-コサイクルηはコサイクル条件を満たし、ゼロとコホモロジーフェイルしていないことが示され、古典的Godbillon-Veyコサイクルに類似した位相的または特性類的解釈が可能性である。
• コチェーン複体における微分が、Hochschild微分とChevalley-Eilenberg微分の間を滑らかに補間することを示し、このコホモロジー理論のハイブリッド的性質を反映している。
• 第二コホモロジー空間はLie反代数の拡張を分類し、第一コホモロジー空間は加群の拡張を分類する。これにより、理論のコホモロジー的意義が確認された。