[論文レビュー] Alternating projections and coupling slope

Dmitriy Drusvyatskiy, A. D. Ioffe+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 37被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、滑らかでない結合関数の勾配を分析することにより、正則性や標準的接線性仮定を要件としない非凸集合に対する交互射影法の局所的線形収束を確立する。半代数的かつ有界な集合に対しては、接線性条件を一切要件とせず、部分列の収束をさらに証明する。

ABSTRACT

We consider the method of alternating projections for finding a point in the intersection of two possibly nonconvex closed sets. We present a local linear convergence result that makes no regularity assumptions on either set (unlike previous results), while at the same time weakening standard transver-sal intersection assumptions. The proof grows out of a study of the slope of a natural nonsmooth coupling function. When the two sets are semi-algebraic and bounded, we also prove subsequence convergence to the intersection with no transversality assumption. Key words: alternating projections, linear convergence, variational analysis, slope, transversality AMS 2000 Subject Classification: 49M20, 65K10, 90C30 1

研究の動機と目的

• 非凸閉集合に対する交互射影法の局所的線形収束を、正則性仮定なしに確立すること。
• 非凸設定における収束に通常必要とされる標準的接線性条件を弱めること。
• 収束解析の中心的ツールとして、滑らかでない結合関数の勾配を分析すること。
• 半代数的かつ有界な集合に対して、最小限の幾何的仮定のもとで部分列の収束を証明すること。
• 変分解析における収束保証を、より広い非凸集合のクラスへと拡張すること。

提案手法

• 収束性の導出に用いられる、滑らかでない結合関数の勾配を分析するための関数を導入する。
• 特に、滑らかでない最適化における勾配の概念を用いた変分解析の道具を用いる。
• 交点近傍での勾配の挙動に基づく、局所的線形収束解析を適用する。
• 半代数的幾何学を用いて、接線性仮定なしに収束を確立する。
• 度量正則性と勾配に基づく推定を組み合わせ、弱い幾何的条件下での収束を証明する。
• 有界な半代数的集合の構造を活用して、部分列の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性や接線性仮定なしに、非凸集合に対する交互射影法が線形に収束するか？
• RQ2 結合関数の勾配は、交互射影法の収束速度とどのように関係するか？
• RQ3 半代数的かつ有界な集合において、どのような幾何的条件が部分列の収束を保証するか？
• RQ4 非凸適合性問題において、接線性仮定をどの程度弱めたり、取り除いたりできるか？
• RQ5 勾配分析は、非凸交互射影法における収束を統一的に扱うフレームワークを提供できるか？

主な発見

• 正則性仮定なしに、非凸閉集合に対する交互射影法が局所的線形収束を達成することを示した。
• 収束結果は、接線性の弱い形の条件下でも成立し、従来の結果よりも広いクラスの問題に適用可能である。
• 自然な滑らかでない結合関数の勾配が、収束証明を可能にする中心的解析的ツールであることが示された。
• 半代数的かつ有界な集合に対しては、接線性仮定なしに交点への部分列収束が保証される。
• 勾配理論を用いた新しいフレームワークが、非凸適合性問題における収束を提供する。
• 従来の方法が強い幾何的仮定を要する非凸設定においても、交互射影法の適用範囲が拡張された。