[論文レビュー] Regularity of collections of sets and convergence of inexact alternating projections

Alexander Y. Kruger, Nguyen Hieu Thao|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 23被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、集合の精密な正則性特性を用いて、可解性問題における不正確な交互射影法の収束速度を確立する。$\sigma$-射影を導入し、制限付き正規コーンと超正則性を活用することで、古典的な一様正則性よりも弱い条件下でも $\sqrt{c}$ のR線形収束を証明し、非凸および非凸的類似の設定への適用性を向上させる。

ABSTRACT

We study the usage of regularity properties of collections of sets in convergence analysis of alternating projection methods for solving feasibility problems. Several equivalent characterizations of these properties are provided. Two settings of inexact alternating projections are considered and the corresponding convergence estimates are established and discussed.

研究の動機と目的

• 有限次元空間における可解性問題に対する不正確な交互射影法の収束を分析すること。
• 一様正則性を制限付き正則性特性に置き換えることで、古典的な収束結果を精緻化すること。
• 特に非凸集合に対して、先行研究よりも弱い仮定のもとでR線形収束レートを確立すること。
• 射影プロセスに関連する正規ベクトルと方向にのみ注目することで、収束理論の適用範囲を拡大すること。
• 正則性定数と不正確さパラメータの観点から、収束の定量的推定を提供すること。

提案手法

• $\sigma$-射影を正確な射影の緩和として導入し、$\sigma \in [0,1)$ で制御される不正確さを許容する。
• 交互射影に関連する方向のみを捉えるために、制限付き極限正規コーン $\overline{N}_A^B(\bar{x})$ と $\overline{N}_B^A(\bar{x})$ を使用する。
• ベクトル $b - a_2$、$u$、$v$ 間の角度推定に基づく幾何的議論を用い、コサインおよびサインの上限を用いて収縮不等式を導出する。
• 収束不等式 $\|x_{n+2} - x_{n+1}\| \leq c \|x_{n+1} - x_n\|$（$c < 1$）を確立し、これによりR線形収束を示す。
• $\mathbb{B}_\delta(\bar{x})$ の近傍内でコーシー列の議論を適用し、$A \cap B$ への収束を保証する。
• 古典的な一様正則性および超正則性の代わりに、BLPW制限付き正則性および$B$-超正則性の概念を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な一様正則性よりも弱い正則性仮定のもとで、不正確な交互射影法の収束速度を確立できるか？
• RQ2 交互射影に特に関連する正規コーンに制限することで、収束解析にどのような影響を与えるか？
• RQ3 不正確さ（$\sigma$ で制御）は、この手法の収束速度および安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 両方の集合が超正則である場合、収束速度を向上させられるか、その場合の仕組みは何か？
• RQ5 精密な正則性概念を用いることで、ブレグマンおよびバウシュケとボーヴァインの古典的収束結果を非凸設定にどの程度一般化できるか？

主な発見

• 集合 $A$ が $\bar{x}$ で超正則であり、$\hat{c}[A,B](\bar{x}) < 1$ であれば、$\sigma$-交互射影において、レート $\sqrt{c}$ のR線形収束が達成される。ここで $c \in (\bar{c}, 1)$ である。
• 両方の集合 $A$ と $B$ が超正則であれば、収束レートは保たれ、かつ各反復で対称的な収縮が生じるため、$c$ に改善される。
• 初期点が $\mathbb{B}_\rho(\bar{x})$ 内にある場合、$\rho = \frac{1-c}{5-c}\delta$ であれば、$\sigma$-射影の列は $\mathbb{B}_\delta(\bar{x})$ の近傍内に留まり、局所正則性条件の適用が保証される。
• 収束推定は不正確さに対してロバストである：$\sigma < 1$ での $\sigma$-射影でも収束が保証され、$\sigma \to 0$ のときには正確な場合に近づく。
• 制限付き正規コーンおよびBLPW制限付き正則性の使用により、古典的な一様正則性よりも厳密に弱い仮定のもとで収束が可能になる。
• ベクトルと正規方向の間の角度推定に基づく幾何的議論は、収縮レートの定量的基盤を提供する。ここで $c_1$ と $\sigma$ は、関連する角度のコサインおよびサインを上限で制御する上で中心的な役割を果たす。