[論文レビュー] Amenability and weak containment for actions of locally compact groups on $C^*$-algebras

Alcides Buss, Siegfried Echterhoff+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 54被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、局所コンパクト群のC*-代数への作用について、離散群の場合にAnantharaman-Delarocheが定義した概念を一般化した、新たな可解性の概念を導入する。可換C*-代数への作用に関して、この可解性が測度的可解性と同値であることを示し、長年の未解決問題を解決する。主な結果はMatsumuraの定理の一般化である：正確な局所コンパクト群Gが局所コンパクト空間Xに作用するとき、C₀(X)の全交叉積と減少交叉積が一致するための必要十分条件は、作用が可解であることである。

ABSTRACT

In this work we introduce and study a new notion of amenability for actions of locally compact groups on $C^*$-algebras. Our definition extends the definition of amenability for actions of discrete groups due to Claire Anantharaman-Delaroche. We show that our definition has several characterizations and permanence properties analogous to those known in the discrete case. For example, for actions on commutative $C^*$-algebras, we show that our notion of amenability is equivalent to measurewise amenability. Combined with a recent result of Alex Bearden and Jason Crann, this also settles a long standing open problem about the equivalence of topological amenability and measurewise amenability for a second countable $G$-space $X$. We use our new notion of amenability to study when the maximal and reduced crossed products agree. One of our main results generalizes a theorem of Matsumura: we show that for an action of an exact locally compact group $G$ on a locally compact space $X$ the full and reduced crossed products $C_0(X) times_\max G$ and $C_0(X) times_{\operatorname{red}} G$ coincide if and only if the action of $G$ on $X$ is amenable. We also show that the analogue of this theorem does not hold for actions on noncommutative $C^*$-algebras. Finally, we study amenability as it relates to more detailed structure in the case of $C^*$-algebras that fibre over an appropriate $G$-space $X$, and the interaction of amenability with various regularity properties such as nuclearity, exactness, and the (L)LP, and the equivariant versions of injectivity and the WEP.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群のC*-代数への作用について、離散群の場合を拡張した新たな可解性の概念を定義し、その性質を研究すること。
• この可解性と近似性質との関係、特に弱包含と交叉積構造の文脈における関係を調査すること。
• BeardenとCrannの最近の結果を用いて、第二可算なG-空間に関して、位相的可解性と測度的可解性の同値性を解明すること。
• 最大交叉積と減少交叉積が一致する条件を特徴づけること、特に可換C*-代数への作用の文脈で行う。
• 可解性と核的性、正確性、および等化的（L）LPといった正則性性質との関係を、等化的設定において探求すること。

提案手法

• C*-代数AとG作用αに対して、L∞(G) ⊗̂ A** から A** へのG-不変な条件付き期待値の存在を用いて、G-C*-代数(A, α)の可解性を定義する。
• 包拡G-von Neumann代数の構成を用いて、作用をvon Neumann代数の設定に持ち上げ、条件付き期待値を用いて可解性を解析する。
• 理想、商、および直和極限などのさまざまな操作に関して、可解性の永続性を確立する。
• 可換C*-代数の場合、BeardenとCrannの結果を用いて、可解性が測度的可解性と同値であることを証明する。
• 弱準中心近似性質（wQAP）を用いて、Fellバンドル構造と可解性の関係を分析する。
• Haagerup標準形と単射表現を用いて、補空間可解性と弱包含との関係を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト群のC*-代数への作用に関する新しい可解性の概念が、可換C*-代数の場合に測度的可解性と同値であるか？
• RQ2 正確な局所コンパクト群Gが局所コンパクト空間Xに作用するとき、C₀(X) ⋊ Gの最大交叉積と減少交叉積が一致するのは、作用が可解であるときに限るか？
• RQ3 離散群の非可解作用が弱包含性質を満たすことは可能か？
• RQ4 G-C*-代数に関して、補空間可解性と同値な内在的近似性質は存在するか？
• RQ5 核的C*-代数への作用の補空間可解性が、減少交叉積の核的性を示唆するか？

主な発見

• 局所コンパクト群のC*-代数への作用に関する新しい可解性の概念は、C*-代数が可換である場合には測度的可解性と同値である。
• 正確な局所コンパクト群Gが局所コンパクト空間Xに作用するとき、C₀(X) ⋊max GとC₀(X) ⋊red Gの全交叉積と減少交叉積が一致するのは、作用が可解であることと同値である。
• 非可換C*-代数ではMatsumuraの定理の類似は成り立たない：作用の可解性は最大交叉積と減少交叉積の一致を示さない。
• スペクトルがハウスドルフ空間である型I C*-代数への作用の可解性は、強い可解性を示し、可換の場合の結果を拡張する。
• 補空間可解性は可解性を示さず、弱包含性を持つ非可解作用が存在する。
• 減少交叉積A ⋊red Gの核的性はAの核的性を示唆するが、Gが特定のクラス（例えば内部可解群）に属する場合を除いて、作用の可解性を示唆しない。