[論文レビュー] Amenability of Closed Subgroups and Orlicz Spaces

Yaroslav Kopylov|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、第二可算な局所コンパクト群 $G$ の閉部分群 $H$ がアメーブルであるための必要十分条件として、$\Delta_2$-正則な $N$-関数 $\Phi$ によるオルリッチ空間 $L^\Phi(G)$ 上での左正則表現が、ほとんど不変ベクトルを持つことであることを確立している。さらに、非コンパクトな第二可算な局所コンパクト群 $G$ がアメーブルであることと、その第一コホモロジー空間 $H^1(G, L^\Phi(G))$ がハウスドルフでないことは同値であり、古典的なアメーブル性に関する結果をオルリッチ空間表現およびコホモロジー的基準へと一般化している。

ABSTRACT

We prove that a closed subgroup $H$ of a second countable locally compact group $G$ is amenable if and only if its left regular representation on an Orlicz space $L^Φ(G)$ for some $Δ_2$-regular $N$-function $Φ$ almost has invariant vectors. We also show that a noncompact second countable locally compact group $G$ is amenable if and ony if the first cohomology space $H^1(G,L^Φ(G))$ is non-Hausdorff for some $Δ_2$-regular $N$-function $Φ$.

研究の動機と目的

• 第二可算な局所コンパクト群の閉部分群に対するアメーブル性の特徴づけを、$L^p$-空間の代わりにオルリッチ空間を用いることで一般化すること。
• $\Delta_2$-正則な $N$-関数 $\Phi$ に対するオルリッチ空間 $L^\Phi(G)$ へと、アメーブル性のコホモロジー的特徴づけを拡張すること。
• 第一コホモロジー空間 $H^1(G, L^\Phi(G))$ の非ハウスドルフ性と非コンパクト群のアメーブル性との間の関係を確立すること。
• 閉部分群 $H$ の左正則表現が $L^\Phi(G)$ 上でほとんど不変ベクトルを持つことと、$H$ がアメーブルであることの同値性を示すこと。

提案手法

• $\Delta_2$-正則な $N$-関数 $\Phi$ によって定義されるオルリッチ空間 $L^\Phi(G)$ を用い、ゲージノルム $\|f\|_{(\Phi)} = \inf\{k > 0 : \int_G \Phi(|f(x)/k|) d\mu_G(x) \leq 1\}$ を導入する。
• $L^\Phi(G)$ 内のコンパクト集合および十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、ほとんど不変関数を持つという条件 $(P_\Phi)$ を導入し、これをアメーブル性の特徴づけに用いる。
• 導関数 $\varphi = \Phi'$ 及びその左逆関数 $\psi$ を用いたノルム推定を用いて、閉部分群 $H$ の左正則表現が $L^\Phi(G)$ 上でほとんど不変ベクトルを持つことと、$H$ がアメーブルであることの同値性を示す。
• $G/H$ から $G$ へのボレル切断 $\sigma: G/H \to G$ を用い、$H$ 上への関数の持ち上げをノルムおよびコ cycle 構造を保つように行う。
• Guichardet の結果（$H^1(G,V) = \overline{H}^1(G,V)$ が成り立つのは、$V$ がほとんど不変ベクトルを持たないときのみ）を $V = L^\Phi(G)$ に適用する。
• $G$ が非コンパクトであるため、$L^\Phi(G)^G = 0$ が成り立ち、コホモロジー的基準が適用可能になる。これにより、非ハウスドルフ性と非アメーブル性の同値性が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Delta_2$-正則な $N$-関数 $\Phi$ に対して、$L^\Phi(G)$ 上での左正則表現のほとんど不変ベクトル性が、閉部分群 $H$ のアメーブル性を特徴づけるか。
• RQ2 Reiter の条件 $(P_p)$ を用いた古典的アメーブル性基準が、$L^p$-空間からオルリッチ空間 $L^\Phi(G)$ へと拡張可能か。
• RQ3 $G$ が非コンパクトかつ非アメーブルであるとき、第一コホモロジー空間 $H^1(G, L^\Phi(G))$ が非ハウスドルフであることは同値か。
• RQ4 $G$ が非コンパクトかつ第二可算なとき、$L^\Phi(G)$ のコホモロジー的構造は $G$ のアメーブル性をどのように反映するか。

主な発見

• 第二可算な局所コンパクト群 $G$ の閉部分群 $H$ がアメーブルであることと、ある $\Delta_2$-正則な $N$-関数 $\Phi$ に対して、$L^\Phi(G)$ 上での左正則表現がほとんど不変ベクトルを持つことは同値である。
• 非コンパクトな第二可算な局所コンパクト群 $G$ に対して、第一コホモロジー空間 $H^1(G, L^\Phi(G))$ が非ハウスドルフであることと、$G$ が非アメーブルであることは同値である。
• 証明は、Rao が確立した $(P_\Phi)$ 条件とアメーブル性の同値性をオルリッチ空間設定へと拡張することで成り立つ。
• オルリッチ空間 $L^\Phi(G)$ 上のノルム推定では、導関数 $\varphi = \Phi'$ 及びその左逆関数 $\psi$ を用い、不等式 $|\Phi(a) - \Phi(b)| \leq |a - b|(\varphi(a) + \varphi(b))$ が重要な役割を果たす。
• コホモロジー的基準は、$L^\Phi(G)^G = 0$ であることに基づき、Guichardet の定理を $L^\Phi(G)$ に適用することで得られる。非コンパクト群 $G$ のハール測度が無限大であるため、この条件は満たされる。
• 本結果は、$L^p$-空間に関する定理 B をオルリッチ空間へ一般化し、$H \leq G$ のアメーブル性が $\lambda_G(H)$ の $L^\Phi(G)$ 上でのほとんど不変ベクトル性と同値であることを示している。