[論文レビュー] Amenability properties of the central Fourier algebra of a compact group

Mahmood Alaghmandan, Nico Spronk|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクト群 G 上の中心フーリエ代数 ZA(G) の可解性に関する性質を調査する。G が非アーベルな連結部分群を含む場合、ZA(G) は有界な点導分をもつことが示され、一方で ZA(G) が可解であることは、G がほとんどアーベルであることと同値である。主な貢献は、特にその連結成分と有限商群に注目したとき、ZA(G) の可解性、弱可解性、および超ターベル性の完全な特徴付けを群の構造に基づいて行っていることである。

ABSTRACT

We let the central Fourier algebra, ZA(G), be the subalgebra of functions u in the Fourier algebra A(G) of a compact group, for which u(xyx^{-1})=u(y) for all x,y in G. We show that this algebra admits bounded point derivations whenever G contains a non-abelian closed connected subgroup. Conversely when G is virtually abelian, then ZA(G) is amenable. Furthermore, for virtually abelian G, we establish which closed ideals admit bounded approximate identities. We also show that if ZA(G) is weakly amenable, even hyper-Tauberian, exactly when G admits no non-abelian connected subgroup. We also study the amenability constant of ZA(G) for finite G and exhibit totally disconnected groups G for which ZA(G) is non-amenable.

研究の動機と目的

• コンパクト群 G の中心フーリエ代数 ZA(G) がいつ可解、弱可解、または超ターベルであるかを特定すること。
• 特に非アーベルな連結部分群の存在に関連して、ZA(G) における有界な点導分の存在を分析すること。
• G がほとんどアーベルである場合、ZA(G) の閉イデアルのうち有界な近似恒等式をもつものについて特徴づけること。
• 有限群および準プロファイント群における、アメニティ定数 AM(ZA(G)) の計算と分析を行うこと。
• スぺクトルの上でのスペクトル合成および弱合成に関する結果を、ZA(G) のスぺクトルへ一般化し、Meany や Ricci の先行研究を拡張すること。

提案手法

• ZA(G) を、内自己同型に関して不変な A(G) の部分代数として定義する。すなわち、すべての x, y ∈ G に対して u(xyx⁻¹) = u(y) を満たす関数 u を考える。
• 特に G がほとんどアーベルであるか、非アーベルな連結成分をもつ場合に、ZA(G) の構造を調査するため、コンパクト群上の表現論と調和解析を用いる。
• 有界な近似恒等式や導分を含む、作用素空間論およびバナッハ代数論の技法を適用し、可解性および弱可解性を研究する。
• 同型関係 ZA(G×G) ≅ ZA(G) ˆ⊗ ZA(G) と対角要素 1_Conj(G)_D を用い、テンソル積の性質を通じてアメニティ定数を計算する。
• 有限群の場合、AM(ZA(G)) は直積に関して乗法的であるという事実を用い、非アーベルな有限群の無限積に適用することで非可解性を示す。
• スペクトル合成技法を用い、ZA(G) のスぺクトルの有限集合および単一要素集合を研究し、Meany や Ricci の結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト群 G に対して、中心フーリエ代数 ZA(G) がいつ可解であるか？
• RQ2 G に非アーベルな連結部分群が存在する場合、ZA(G) 上に有界な点導分が存在するか？
• RQ3 ほとんどアーベルなコンパクト群 G に対して、ZA(G) のどの閉イデアルが有界な近似恒等式をもつか？
• RQ4 ZA(G) がいつ弱可解または超ターベルであるか？
• RQ5 有限群および準プロファイント群に対して、アメニティ定数 AM(ZA(G)) は何か？また、いつ無限大になるか？

主な発見

• G が非アーベルな閉連結部分群を含むならば、ZA(G) は有界な点導分をもつ。
• ZA(G) が可解であることと、G がほとんどアーベルであることとは同値である。
• ZA(G) が弱可解（および超ターベル）であることと同値な条件は、連結成分 G_e がアーベルであることである。
• 非アーベルな有限群 G_i の無限積 P = ∏G_i に対して、ZA(P) は非可解であり、AM(ZA(P)) = ∞ である。
• 有限積に対しては AM(ZA(P)) = ∏AM(ZA(G_i)) が成り立ち、G = H × F で F が有限群のとき、AM(ZA(G)) ≥ AM(ZA(F)) が成り立つ。
• 本稿では、Lasser の可解性に関する結果を広範に一般化し、ZA(G) のスぺクトルの有限集合および単一要素集合に対する新しいスペクトル合成結果を提供している。